D238. A la recherche du polygone régulier
Quatre points A, B, C et D sont situés dans cet ordre sur la circonférence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont égales entre elles et l’on a la relation 1/AB = 1/AC + 1/AD. Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone régulier dont on déterminera le plus petit nombre possible de côtés.
On désigne par a la longueur des trois cordes, par b la longueur AB, et c la longueur AD.
La relation s'écrit 1/a=1/b+1/c.
On appelle α l'angle <BAC>.
ABC isocèle en B entraine que α=<BCA>.
Comme de tous les points de la circonférence d'un cercle du même côté de la corde, on voit cette corde sous un même angle, on a également α=<BDA>. Cette même remarque appliquée à la corde BC entraine qu'en D, α=<BDC>.
L'angle au centre sous lequel on voit une corde étant le double de celui sous lequel on voit cette même corde depuis la circonférence, on voit que les points A, B, C, D sont répartis suivant des angles 2α. S'ils sont situés sur un polygone régulier, c'est qu'il existe un entier k pour lequel 2αk=2π, soit encore k=π/α.
Appliquons le formule des sinus dans le triangle ACD, de côtés a, b, c et d'angle α, 2α, π−3α : a/sin(α)=b/sin(2α)=c/sin(π−3α)=c/sin(3α).
La relation sur les longueurs s'écrit donc : 1/a=sin(α)/(asin(2α))+sin(α)/(asin(3α)) soit, en simplifiant par a,
1=sin(α)/sin(2α)+sin(α)/sin(3α) A
B
C
α D a
a a
b b
c 2 α α
α
α α
2 α
2 α
α
Comme
sin(2α)==2sin(α)cos(α)
et sin(3α)=sin(α)cos(2α)+cos(α)sin(2α)=sin(α)[cos2(α)-sin2(α)]+2sin(α)cos2(α) soit, sin(3α)=sin(α)[2cos2(α)-1]+2sin(α)cos2(α)=sin(α)(4cos2(α)-1)
On trouve finalement en posant x=cos(α) que la relation devient
1=1/2x+1/4x2-1 ou encore que 8x3-2x= 4x2-1+2x, soit 8x3- 4x2-4x+1=0.
Cette équation du troisième degré possède trois solutions réelles qui sont (par application des formules de Cardan)
x1=-0,6234898019...
x2=0,222520934...
x3=0,9009688679...
ce qui correspond aux angles α1=-51,4286..°=-2π/7 α2=77,1429..°=3π/7 α3=25,7142.. °=π/7
avec les valeurs pour k=π/α, k1=-7/2, k2=7/3 ; k3=7.
Les points A, B C et D sont placés sur un heptagone.
Les deux autres valeurs de k correspondent aux deux parcours en étoile des sommets de l'heptagone, parcours pour lesquels n'interviennent que les longueurs a, b et c.
