Or B est un point du chemin duquel on voit les deux arbres D et E sous cet angle u

D128 – Le troisième triangle Solution

Comme le triangle FDE auquel Diophante fait allusion est semblable aux triangles DAB et EBC, il est logique de rechercher l’angle DFE sous lequel on voit les deux arbres D et E égal à l’angle ADB (ou BEC) = u . Or B est un point du chemin duquel on voit les deux arbres D et E sous cet angle u. En effet les deux triangles DAB et EBC étant isocèles et semblables entre eux,le côté BE est parallèle à AD et angle(DBE) = angle(ADB) = u = angle(BEC).

Le cercle circonscrit au triangle BDE coupe le chemin en un quatrième point F tel que angle(DFE) = angle(DBE)=u. Or dans le triangle FDE, les deux angles (FDE) et (FBC) qui sous-tendent le même arc de cercle EF sont égaux. Dès lors les deux triangles FDE et EBC qui ont deux angles égaux deux à deux sont deux triangles semblables et le triangle FDE est lui-même isocèle. Le point F est à l’intersection de la médiatrice du segment DE avec la bordure du chemin.

La surface du champ DAB étant d’un hectare et la distance AB étant de 100 mètres, la hauteur DM du triangle issue de D est de 200 mètres. Comme la surface du champ EBC est de deux hectares, la distance BC est égale à 100 2 mètres et la hauteur EN issue de E dans ce triangle est 200 2 mètres. On en déduit MN = (AB + BC)/2 = 50( 21) mètres et EN – DM = 200( 2 -1) mètres. Il en résulte DE² MN²(ENDM)²=

2500( 21)²+40000( 21)²= 127500 – 75000 2 DE = 50 5130 2 mètres = 146,40.. mètres. La surface de FDE est donc le carré de DE /AB exprimé en hectares soit (5130 2)/4 = 2,14.. hectares. Ce triangle est légèrement plus étendu que le champ EBC.