Enoncé D1904 (Diophante) Deux angles droits
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1er angle droit
Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant par B. Démontrer que OP est perpendiculaire àAP.
Je suppose le triangle ABC de sens direct ; (AB, AC) = ˆA. Je travaille en angles orientés de droites non orientées, définis àπ près.
Les cercles considérés sont les arcs capables, tels que – pour le premier (M C, M A) = (AC, BA) =−Aˆ; – pour le second (M A, M B) = (CA, AB) =−A.ˆ
On en tire (P B, P C) =−(P A, P B)−(P C, P A) = 2 ˆA= (OB, OC).
Ainsi les pointsB, C, O, P sont cocycliques.
(P C, P O) = (BC, BO) =π/2−A, puisˆ
(P A, P O) = (P C, P O)−(P C, P A) =π/2, CQFD.
2ème angle droit
Quatre pointsA, B, CetDpris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centre O. Les droites AB et CD se rencontrent en un point M. Les cercles circonscrits aux triangles ACM etBDM se rencontrent en M et en un deuxième point P. Démontrer que OP est perpendiculaire à M P.
Soit l’inversion de pôle M qui laisse invariant le cercle (O). Les cercles (ACM) et (BDM) ont respectivement pour inverses les droitesBDetAC, se coupant en P0, inverse de P.P0 est sur la polaire de M par rapport au cercle (O).
Le cercle de diamètre OM coupe le cercle (O) aux points de contact des tangentes menées de M. Il a pour inverse la droite qui joint ces points, et qui est la polaire deM. AinsiP, inverse deP0, est sur le cercle de diamètre OM, et l’angle OP M est droit, CQFD.
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