Enoncé D1877 (Diophante) Un lieu peu ordinaire Dans un triangle

Enoncé D1877 (Diophante) Un lieu peu ordinaire

Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A. Soit P un point courant de la droite [AD]. La droite symétrique de la droite [BP] par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle en B coupe la droite [AD] au pointQ. Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle M P QquandP parcourt la droite [AD].

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soient I et J les centres des cercles inscrit et exinscrit dans l’angle A du triangleABC.

Les droites BI et BJ sont bissectrices de l’angle P BQ, donc la division (P, Q, I, J) est harmonique et les cercles passant parP etQsont orthogo- naux au cercle de diamètreIJ (en bleu sur la figure).

Selon une propriété classique, ce cercle est centré au milieuA⁰ de l’arcBC du cercle circonscrit au triangleABC.

Le cercle circonscrit au triangle M P Q (en rouge sur la figure), de centre E et de rayon EM, est orthogonal au cercle de diamètre IJ quand la puissance deE par rapport à ce cercle est le carré EM² de son rayon.

Ainsi EM² = EA⁰² −A⁰I². La différence EM² −EA⁰² ayant la valeur constante−A⁰I², le pointE se projette en un point fixe de la droiteM A⁰, médiatrice du segmentBC.

Le lieu cherché est une partie d’une droite parallèle à BC; son point à l’infini n’en fait pas partie, car le cercle (M P Q) ne peut se réduire à une droite perpendiculaire àBC. Je n’ai pas cherché à délimiter ce lieu plus précisément.