Enoncé D1877 (Diophante) Un lieu peu ordinaire
Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A. Soit P un point courant de la droite [AD]. La droite symétrique de la droite [BP] par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle en B coupe la droite [AD] au pointQ. Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle M P QquandP parcourt la droite [AD].
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient I et J les centres des cercles inscrit et exinscrit dans l’angle A du triangleABC.
Les droites BI et BJ sont bissectrices de l’angle P BQ, donc la division (P, Q, I, J) est harmonique et les cercles passant parP etQsont orthogo- naux au cercle de diamètreIJ (en bleu sur la figure).
Selon une propriété classique, ce cercle est centré au milieuA0 de l’arcBC du cercle circonscrit au triangleABC.
Le cercle circonscrit au triangle M P Q (en rouge sur la figure), de centre E et de rayon EM, est orthogonal au cercle de diamètre IJ quand la puissance deE par rapport à ce cercle est le carré EM2 de son rayon.
Ainsi EM2 = EA02 −A0I2. La différence EM2 −EA02 ayant la valeur constante−A0I2, le pointE se projette en un point fixe de la droiteM A0, médiatrice du segmentBC.
Le lieu cherché est une partie d’une droite parallèle à BC; son point à l’infini n’en fait pas partie, car le cercle (M P Q) ne peut se réduire à une droite perpendiculaire àBC. Je n’ai pas cherché à délimiter ce lieu plus précisément.
