Enonc´e noH132 (Diophante)
Solution r´edig´ee par Jean Moreau de Saint-Martin 1) Majoration
Soit un polygone `ancˆot´es. Il anangles int´erieurs, dont la somme, compt´ee en “droits” (angles de 90◦), vaut 2n−4.
Siade ces angles valent 1 droit, lesn−aautres ont pour somme 2n−4−a droits, et pour moyenne (2n−4−a)/(n−a) droits.
Comme aucun de ces angles, mˆeme les angles rentrants (>2 droits) ne peut atteindre 4 droits, on a l’in´egalit´e stricte
2n−4−a <4(n−a), d’o`u 3a <2n+ 4 et a≤ b(2n+ 3)/3c.
Ce raisonnement est en d´efaut si n=a, mais alors n=a= 4 (rectangle).
2) Construction d’un polygone optimal
Pour approcher de cette borne, on peut chercher une construction qui cr´ee deux angles int´erieurs droits nouveaux en n’ajoutant que 3 cˆot´es suppl´emen- taires.
C’est possible lorsqu’il existe (enB) un angle rentrant s´eparant les cˆot´esAB etBC. Sur ces cˆot´es, au voisinage deB, on construit deux nouveaux cˆot´es DE etF Gorthogonaux `aAB etBC respectivement. Le nouveau polygone est . . . ADEF GC . . ., avec deux nouveaux angles int´erieurs droits en D et G, et deux angles int´erieurs rentrants en E etF `a la place deB, avec Eˆ+ ˆF = ˆB+ 4 droits.
Ce proc´ed´e (“chapeauter B”) fonctionne d`es que l’on dispose d’un angle rentrant, et s’auto-entretient jusqu’au nombre de cˆot´es d´esir´e puisque les angles enE etF, totalisant plus de 6 droits, sont n´ecessairement rentrants.
Encore faut-il l’amorcer, avec un nombre de cˆot´es ayant le mˆeme reste mo- dulo 3 que le nombre de cˆot´esn`a traiter.
Cela peut se faire en “retournant” un angle saillant ABC. Sur les cˆot´es AB et BC, au voisinage de B, on construit deux nouveaux cˆot´es DE et
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EF orthogonaux `a AB et BC respectivement. Le nouveau polygone est . . . ADEF C . . ., avec deux nouveaux angles int´erieurs droits en D et F, et un angle int´erieur rentrant enE `a la place de B, avec
Eˆ= ˆB+ 2 droits.
Si l’angle enB est droit, le nombre d’angles droits augmente de 1 seulement, alors que le nombre de cˆot´es augmente de 2.
En partant d’un rectangle, avec r retournements d’angles saillants, on ob- tient :
r a n (2n) mod 3 3a−2n
1 5 6 0 3
2 6 8 1 2
3 7 10 2 1
On voit que ce proc´ed´e a un meilleur “rendement” (caract´eris´e par l’expres- sion 3a−2n) que le recours, si n a un reste 1 modulo 3, `a un quadrilat`ere avec angle rentrant (qui a au maximum un angle droit), et sina un reste 2 modulo 3, `a un pentagone avec angle rentrant (qui a au maximum 3 angles droits), d’o`u 3a <2n dans ces deux cas.
Pour r´ealiser un polygone optimal, il suffit de prendre r−1 = (2n) mod 3, de fairer retournements, ce qui donner+ 4 angles droits pour 2r+ 4 cˆot´es, puis de chapeauter des angles rentrants en nombre
(n−4−2r)/3 = 2b2n/3c −n−2.
Le nombre d’angles droits obtenus est :
r+ 4 + 4b2n/3c −2n−4 = 1 +b2n/3c, le majorant obtenu au paragraphe 1.
En particulier, si n = 2008, r = 3, 3 retournements et 666 chapeaux conduisent `a 1339 angles droits.
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