Enonc´e D228 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La distance entre les parall`eles AB etCD estBCsin(π/3) = 1. De ce fait, les trianglesABD et ACD ont pour aire 1. Il en est de mˆeme du triangle AQDqui a mˆeme hauteur par rapport `a la baseAD.
Le triangleAP Da pour aireAP/2, le triangleADR:DR/2,
le trap`ezeBCRP : (BP+CR)/2.
Ces trois figures recouvrent ensemble
a) le domaine bleu, dont le triangle ADY deux fois, b) trois triangles du domaine blanc (AU Y, QV W, DXY), c) mais non le domaine jaune.
La somme des trois aires est
S1= (AP +BP +CR+DR)/2 = (AB+CD)/2 = 2.
Le triangle AQD d’aire S2 = 1 recouvre justement le domaine jaune, le triangle ADY et les 3 triangles en b). On en conclut que la diff´erence des aires des domaines bleu et jaune estS1−S2= 1.
La position pr´ecise des points P, Q, R est sans influence sur ce r´esultat. Si P vient enA,Q etR en C, le domaine jaune est aplati sur AC, le domaine bleu est le triangleABC d’aire 1.
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