Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2012–2013, sans document, ni calculatrice.
Rappel.
La densit´e de la loi Gaussienne de param`etres(0,1) est(1/√
2π) exp(−x2/2).
La densit´e de la loi exponentielle de param`etreλ >0 estλexp(−λx)1{x≥0}.
La loi de Poisson de param`etre λ est la loi discr`ete `a valeurs dans {0,1,2, . . .}, la probabilit´e de la valeur k est
´
egale `a(λk/k!) exp(−λ)pourk= 0,1,2, . . .(on admet0! = 1).
Il faut regarder la num´ ero de la page de votre sujet en bas, l’´ ecrire ` a cˆ ot´ e de votre nom et bien l’encadrer !
Si je compose `a l’´etranger et je m’apercois d’une erreur dans le sujet, je continue `a le faire en expliquant bien dans la copie toutes les d´emarches que cela m’em`ene d’entreprendre.
Si je compose dans le relais ”handicap” et je m’apercois d’une erreur dans le sujet, je demande `a la surveillante de prendre contact avec l’enseignante par le t´el´ephone portable.
I (1) La variable al´eatoireU est de loi uniforme sur [0,1]. Donner la loi de la variable al´eatoire 1−U, sa densit´e et sa fonction de r´epartition.
(2) Donner une fonction bor´elienne g :]0,1[→ R telle que la variable al´eatoire g(U) soit de loi exponentielle de param`etre 1. (Suggestion : pour donner g on pensera `a une m´ethode de simulation appropri´ee pour la loi exponentielle.)
Voici les donn´ees informatiques pour les questions (3)–(6). Soient les 6 nombres : exp(−7),exp(−1),exp(−4),exp(−6),exp(−3),exp(−5) les r´ealisations de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1].
(3) Donner une suite de 6 nombres qui sont les r´ealisations de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi `a deux valeurs : la valeur 0 avec probabilit´e exp(−2) et la valeur 1 avec probabilit´e 1−exp(−2) et expliquer votre r´eponse.
(4) Donner une suite de 6 nombres qui sont les r´ealisations de varaibles al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etre 1 et expliquer votre r´eponse (on pourra penser `a utiliser vos r´esultats des questions (1) et (2)).
(5) Donner un nombre qui est une r´ealisation d’une loi de Poisson de param`etre 10 et expliquer votre r´eponse.
(6) Donner un nombre qui est une r´ealisation de la variable al´eatoireZ de loi `a densit´e (2/√
2π) exp(−x2/2)1{x≥0}
et expliquer votre r´eponse (On pourra penser `a la simulation de lois conditionnelles).
(7) SoitJ une variable al´eatoire `a deux valeurs : la valeur 1 avec probabilit´e 1/2 et la valeur−1 avec probabilit´e 1/2. J etZ ci-dessus (question 6) sont ind´ependantes. Donner la loi du produitJ×Z et prouver votre r´eponse.
II (8) Une soci´et´e de service s’apprˆete `a proposer 4 nouveaux tarifs pour ses services et veut tester l’hypoth`ese qu’ils seront choisis entre les clients `a ´egalit´e. Elle fait un sondage de 4000 clients : 1000 se disent favorables pour le tarifs 1, 1000 pour le tarif 2, 1003 pour le tarif 3 et 997 pour le tarif 4. Calculer la valeur de la statistiqueTn
pourn= 4000 du test deχ2pour ces donn´ees.
(9) Donner la d´efinition de la loi deχ2`addegr´es de libert´e en termes de variables Gaussiennes. Donner la d´efinition de la quantileqα,dde la loi de χ2 `addeg´es de libert´e de niveauα= 0.05.
(10) Expliquer comment tester l’hypoth`ese de la question (8) au seuil de fiabilit´eα= 0.05.
(11) SoitTnde la question (8). Pour una >0 donner limn→∞P(Tn≤a) en terme de l’int´egrale deQd i=1
exp(−x2i/2)(1/√ 2π) sur Rd avec d appropri´ee et lelong d’un domaine dans Rd proprement choisi. Que repr´esente ce domaine
g´eom`etriquement ?
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III (12) On consid`ere une chaˆıne de Markov (Xn)n≥0 de matrice de transition
1/2 0 1/3 0 1/6 0
0 1/6 1/2 1/6 0 1/6
1/3 0 1/3 0 1/3 0
0 0 0 1 0 0
1/7 0 1/7 0 5/7 0
1/12 1/2 0 1/12 0 1/3
Caract´eriser les ´etats 1 et 2 (r´ecurrence, transeince). SoitTi = min{n >0 :Xn=i}. Donner limn→∞(P(T1<∞ |X0= 1))n et limn→∞(P(T2<∞ |X0= 2))n.
(13) DonnerP(P∞
n=01{Xn=1}<∞ |X0= 1) etP(P∞
n=01{Xn=2}<∞ |X0= 2).
(14) DonnerP(T3<∞ |X0= 1), (15) CalculerP(T1<∞ |X0= 2).
(16) Calculer limn→∞P(Xn= 1|X0= 1), limn→∞P(Xn= 1|X0= 3).
(17) Donner limn→∞P(Xn= 2|X0= 2). Donner limn→∞P(Xn= 1|X0= 2).
(18) Donner UNE mesure de probabilit´e initiale λ= (λ1, . . . , λ6) telle que sous cette mesure P(Xn =i) =λi pour toutn≥0 et touti= 1, . . . ,6.
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