Enonc´e noA234 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Soitα l’angle que forme le tableau avec l’axe du couloir de 2 m`etres. Si le tableau passe, le planP parall`ele au tableau passant par l’arˆete saillante commune aux deux couloirs aura sur le sol une trace d’au moins 5 m`etres.
En effet, supposant que les bords du tableau suivent les murs ext´erieurs des couloirs, on passe du plan du tableau au plan P par une homoth´etie de rapport≥1.
La trace du planP a deux parties, l’une de longueur 2/sinαdans le couloir de 2 m`etres, l’autre de longueur 1,5/cosα dans le couloir de 1,5 m`etres.
Pour que le tableau passe, il faut que sa longueur ne d´epasse pas le minimum de l’expression 1,5/cosα+ 2/sinα.
Ce minimum est atteint pour tanα = p3 4/3 et vaut (1,52/3 + 22/3)3/2 = 4,932831. . .
Il est strictement inf´erieur `a 5 m`etres, donc le tableau ne passe pas.
2) Soitαl’angle que forme l’axe du camion avec l’axe de la rue de Beaujolais.
Le plan D formant flanc droit du camion a une trace sur le sol dont la longueur, entre les bords ext´erieurs des rues de Valois et de Beaujolais, est L+ 2(tanα+ cotα).
Le plan parall`ele `aD passant par l’angle saillant des deux rues a une trace de longueur
7/cosα+ 6/sinα,
au moins ´egale `a celle deDsi le camion ne mord pas sur le jardin, ces deux traces se correspondant par homoth´etie.
Le camion doit passer de l’axe d’une rue `a l’autre, il faut donc que pour 0< α < π/2, on ait l’in´egalit´e
L+ 2(tanα+ cotα)≤7/cosα+ 6/sinα.
Par cons´equent, il faut que Lsoit au plus ´egal au minimum de l’expression 7/cosα+ 6/sinα−2(tanα+ cotα).
Annuler la d´eriv´ee conduit `a une ´equation alg´ebrique du 6e degr´e, ayant une racine tanα peu sup´erieure `a 1. Le plus simple est d’´etudier directement (sur tableur) la variation de l’expression dont on cherche le minimum. On trouve 14,359165 m`etres, pourα= 47◦80 environ.
Le camion passe seulement si sa longueurL≤14,359165 m`etres.
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