D259. La barre à 180°
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets. Peut-on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et D ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La réponse est positive. On va montrer que, choisissant , il existe de tels quadrilatères dont l’angle est aigu ; plus précisément, pour tout on peut choisir tel que la mesure de est .
On part de carré unité, et on va déplacer le sommet D de façon à satisfaire les trois conditions : 1. est convexe : il faut et il suffit que D’ reste dans l’angle des demi-droites . 2. : il faut et il suffit que D’ reste au dehors du cercle circonscrit à .
3. : il faut et il suffit que reste à l’intérieur du cercle de centre et rayon . Dans la figure suivante, à gauche, la zone admise pour D’ est coloriée en jaune; l’angle est de plus en plus petit et sa mesure s’approche à lorsque s’approche à un des points-limite ; bien entendu, à la limite les « quadrilatères » correspondants sont aplatis :
Dans le cas limite on a ; pour avoir des angles plus petits il faut faire bouger aussi (figure de droite) ; les restrictions pour restent identiques, et maintenant la position optimale est seulement (bien entendu on peut construire une figure-miroir…); lorsque tend vers la zone admise proche de devient de plus en plus petite, et la mesure de l’angle devient de plus en plus proche à zéro.
Sans perte de généralité, dans le cas général (angle non nécessairement droit) on va supposer ; donc, puisque , est aigu. Pour tout angle aigu donné on trace le cercle dont la corde sépare les points qui voient la corde sous l’angle des points qui la voient sous l’angle supplémentaire ; le point est à choisir dans le plus grand des arcs correspondants, tandis que l’arc petit fournit les positions- limite pour le point de façon à avoir puisque . Naturellement ici on ne peut plus choisir le point « trop lointain » de la corde : on a deux morceaux d’arc admis, et (ainsi que dans la précédente figure de droite) la restriction de convexité et la grandeur minimale de dépendent du choix de .
