D259. La barre à 180°
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets. Peut-on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et D ?
Preuve que c'est possible :
Soient les points A(-2,0), C(+4,0), la distance est 6
Soient les points B(-2,9, 0) et D (+2,9 , 0), la distance BD est 5,8 . BD < AC
La plus grande distance entre deux sommets du quadrilatère convexe ABCD est AC = 6.
L'angle ADB est inférieur à 90° car la hauteur DP est inférieure à √(PA.PC).
La somme des angles en B et D est inférieure à 180°.