D259. La barre à 180° ***
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
ABC D est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets. Peut-on avoir moins de 180˚pour la somme des angles enBetD?
Solution de Claude Felloneau La réponse est positive.
Par exemple, soientC un point d’un cercleC de centreOet de rayonR,C0son symétrique par rapport à O,Bun point deC tel que l’angleBOC a une mesureαinférieure à 30˚,Dle symétrique deBpar rapport à (OC) etAun point du segment ]OC0[ distinct deOet deC0.
O C
B
C0 A
D
Commeα<30˚,B D=2Rsinα<R<AC,BC=C D=2Rsin³α 2
´
<R<AC etAB=AD<AO+OD=AC, ACest donc la plus grande distance entre deux sommets du quadrilatère convexeABC D.
De plus, commeA∈]OC0[,Db=Bb<90˚.
Donc la somme des angles enBetDest strictement inférieure à 180˚.
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