Leçon 37 : Angles d'un quadrilatère convexe

l.

Leçon 37 : Angles d'un quadrilatère convexe

Activités Activité I

Sur chaque

figure

ci-dessous, tracer la diagonal.

- En combien de triangle la diagonale partage-t-elle chaque

figure

?

I

Activité

2

Sur la

figure

ci-contre la diagonale

AC

^partage le quadrilatère

ABCD

en deux triangles :

ABC

et

ACD.

- Dans le

triangle

ABC, on a

: À,

+ B

+Ôr: ...

^D

- Dans le

triangle

ACD, on a

: 2,

+ Ô,+ D

= .. .

D'autre

part, on a

: À= À

⁺

À, et

Ô

-Ô,+Ô,

- Dans le quadrilatere

ABCD, on

a :

À+ n

+

ô

+

fi _-

_1À,' ⁺

n

+

ô; +(q

⁺

b

⁺

2,) : ...

I

Donc la samme des angles intérieurs d'un quadrilatère cônvexe égale

Essentiel

1. Angles

d'un quadrilatère.

La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère égale 360".

Dans le quadrilatère convexe

ABCD,

ona t À+n+Ô+ô-360"

Exemple 1

:

Soit un quadrilatère convexe

EFGH

ayant Ê

=90"

,

Ê

=1l8 ^{et È}

^{=77" .}

Calculer la mesure de

I'angle ô.

z

Géométrie C2

Solution

^: _{Hypothèse EFGH un} quadrilatère convexe

:90".É=ll8 _{et H:77'}

Conclusion Calculer G

On a:

n*n+ô+ Ê:36o ô-360'-(E*r+ny

:360" -(90"

^{+ I}

l8'

+77")

:75"

Exemple 2 : Soit

ABCD

un quadrilatère ayan!

À -86, ^ô

^{= I 10"}

b -

^{4C . BE est la} bissectrice de

I'angle.â.

Calculer la mesure de I'angle ,qùn .

Hypothèse

ABCD

un quadrilatère

A -86

^{. C}

-110" et ^D

A

=40'

BE

bissectrice

deÉ.

Conclusion Calculer AEB ^{^ .}

.

BE

est la bissectrice de

l'angleB

^.

Ona:,qBB:EBC:!g

2

. Dans le triangle

ABE,

on'a

:

À +

mn

⁺

mn

= ^180"

AEB:180"

^

-(A+ ^ABE)

. Dans le quadrilatère ABCD, on a :

A A A A.

A+B+C+D:360"

Ê _{-360" -1À+ô}

⁺

b)

= 360"

-

^(86"

^+l

^{10' + 40")}

=124"

^ A l^

1)4

et

ABE

-

^EBC

-:- 22 ^B

Donc ,qÊn-

180"

-G+,qÊn)

,qEn = ^180"

-

^(36'

+62')=32"

Solution

^:

ts7

2. Angles

intérieurs d'un parallélogramme.

Dans tout parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.

FT

Dans le parallélogramme

ABCD,

^^^^^A

ona : A+ B -

^B

^{+C =C * I)}

⁼

^{D+ A=180"}

A=C ^^ et B-D

et

À+A+C+ô=360"

Exemple :

Soit ABCD

un parallélogramme ayant

À:115"

^.

Calculer les mesures des autres angles.

Solution :

B

^Hypothèse Un parallélogramme

ABCD

2 -rr5"

D

:c

Conclusion

Ona:

A+

B

-

^180"

Ê -r8o' - ^À

-180"

-l

^15"

_-

^65'

Eneffet A-C et B=D

donc

A:C-l15' et B-D=65.

I 15"

Géométrie C2

Exercices

1. 2, Ê,

Ô

"t b

^sont les angles intérieurs d'un parallélogramme

ABCD.

Compléter le tableau suivant.

2. x;2x;3x

et 4x sont les mesures des angles intérieurs

d'un

quadrilatère convexe

ABCD. Calculer

les mesures de ces angles.

n/ r r. FFt

!,._,lLa

diflérence de deux angles consécutifs d'un parallélogramme égale 30".

calculer

les mesures des_angles intérieurs de ce parallélogramme.

4- soit

un parallélogramme

RoSE

ayant

nÉs - 46 et

^sâ.o

^:34"

^.

- _Calculer

_{la mesure de}

_{I'ansle nôS.}

5. a. ABZY

est un parallélogramme

tel

que AY

:

_{BX .}

_{Montrer que}

_î

=î:3

^-

b.

Si Zy:BX et î=),montrerque

le

quadrilatère

ABZY

est un

losange. ^x

6-

Calculer les mesures des angles intérieurs d'un parallélogramme sachant

qu'elles

sont proportionnelles aux nombres

2,3,

6 et 7 .

7.

^{Soit EFGH} un parallélogramme tel que :

a. EFG =70-, calculer HEF ^^

^.

b. HÊG:32, calculer nÊp

^.

A

c. EHG -2xr5, ^HGF - 5x,calculer x.

8./

^{Dans chaque} figure, calculer les valeurs de

x

et y .

(2)

159

À B C

b

t20"

85"

140'

+15)"

9.

Quatre points

X,

_{P, Q,} Y sont alignés

tels

^que.

PX:

_QY

Construire un parallélogramme

PQRS

avec

p)n=

_130"

_{et QR:}

_{QY .}

Les

droites _CXS)

et (YR)

se coupent

en'2.

Calculer

la mesure de

I'angle XZY

^.

10.

.Sur ^la

^figure

ci-contre, ABCD

est un losange,

ABX

est un triangle équilatéral

tel que AÔO=82.

Calculer

^les mesures des angles

,qbX et

DBX ^. A

11. Etant

donné un quadrilatère

ABCD d'angle nÀn

₌

60'

et les trois autres angles ont la même mesure.

La

parallèle (CE)

à (BA)

coupe

AD en E.

Calculer les mesures

,qnC

et EÔD.

12. D'après

la figure ci-contre, Choisir la bonne réponse.

La

valeur de

ï

est :

a) a+b+c

c) a+b+c+180"

b)360"-(o+b+c)

d)360"-a+b+c