Exercice 6 p. 42 1. On az−−→
AB =zB−zA = 3 i−(−4 + i ) = 4 + 2 i etz−−→
DC = zC−zD= 3−(−1−2 i ) = 4 + 2 i . 2. Ainsi, z−−→
AB = z−−→
DC donc −−→
AB = −−→
DC et on conclut que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Exercice 7 p. 42. — On a z−−→AB = zB−zA = 3 i−(4−5 i ) = −4 + 8 i et z−−→CD =zD−zC = 11−20 i−(−1 + 4 i ) = 12−24 i donc z−−→
CD = −3z−−→
AB i.e. −−→
CD =−3−−→
AB ce qui prouve que−−→
AB et −−→
CD sont colinéaires.
Exercice 10 p. 42
1. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si −−→
AB = −−→
DC . Or, z−−→AB = zB−zA = 2 + 4 i−(1−3 i ) = 1 + 7 i et z−−→DC = zC−zD = 5 + 3 i−zD. Ainsi, ABCD est une parallélogramme si et seulement si
5 + 3 i−zD = 1 + 7 i⇔zD = 5 + 3 i−(1 + 7 i )⇔zD = 4−4 i.
On conclut donc l’affixe du point D tel que ABCD est un parallélogramme estzD = 4−4 i . 2. Le quadrilatère AEBC est un parallélogramme si et seulement si −−→
AE = −−→
CB . Or, z−−→AE =zE−zA =zE−(1−3 i ) = zE−1 + 3 i etz−−→CB = zB−zC = 2 + 4 i−(5 + 3 i ) =−3 + i . Ainsi, AEBC est une parallélogramme si et seulement si
zE−1 + 3 i =−3 + i⇔zE =−3 + i−(−1 + 3 i )⇔zE =−2−2 i.
On conclut donc l’affixe du point E tel que AEBC est un parallélogramme estzE=−2−2 i . Exercice 12 p. 42
1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2 3 4 5
A
B
C
Les points A, B et C semblent alignés.
2. On az−−→
AB =zB−zA = 3+0,5 i−(1−i ) = 2+1,5 i etz−−→
AC =zC−zA= 8,5+4,5 i−(1−i ) = 7,5 + 5,5 i donc
z−−→AC z−−→
AB
= 7,5 + 5,5 i
2 + 1,5 i = (7,5 + 5,5 i )(2−1,5 i )
22+ 1,52 = 15−11,25 i +11 i +8,25
6,25 = 3,72−0,04 i
Ainsi, z−−→
AC
z−−→
AB
n’est pas réel donc −−→
AC et −−→
AB ne sont pas colinéaires et on conclut donc que notre conjecture est fausse : les points A, B et C ne sont pas alignés.
Exercice 13 p. 42
1. On a A(−2 + i ), B(1−2 i ), C(4 + 2 i ) et D(1 + 3 i ).
2. On a
zI= zA+zB
2 = −2 + i +1−2 i
2 =−1
2− 1 2i zJ= zB+zC
2 = 1−2 i +4 + 2 i
2 = 5
2 zK = zC+zD
2 = 4 + 2 i +1 + 3 i
2 = 5
2+ 5 2i zL = zD+zA
2 = 1 + 3 i−2 + i
2 =−1
2+ 2 i. 3. On en déduit que z−→
IJ = zJ−zI = 5 2 −
−1 2 − 1
2i
= 3 + 1
2i et z−−→
LK = zK−zL = 5
2+5 2i−
−1 2+ 2 i
= 3 +1
2i . Ainsi,z−IJ→= z−−→LK donc −→
IJ =−−→
LK et on conclut que IJKL est un parallélogramme.
Remarque. Ce résultat n’est pas spécifique à cette configuration. Étant donné 4 points distincts A, B, C et D dans le plan, si on note I, J, K et L les milieux des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] alors IJKL est toujours un parallélogramme (éventuellement aplati). Ceci peut se démontrer avec les affixes ou plus simplement et plus directement avec le relation de Chasles.
Exercice 16 p. 42 1.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
A
B
C
D
2. On peut conjecturer que ABCD est un parallélogramme.
Or,z−−→
AB =zB−zA = 7 + 3 i−(3 + i ) = 4 + 2 i etz−−→
DC =zC−zD = 8−2 i−(4−4 i ) = 4 + 2 i donc z−−→
AB = z−−→
DC ce qui signifie que −−→
AB = −−→
DC et donc ABCD est bien un parallélogramme.
3. a. Par définition, −−→
DF = −−→
DC + 5−−→
DA donc −−→
CD +−−→
DF = 5−−→
DA i.e. −−→
CF = 5−−→
DA . Il s’ensuit quez−−→
CF = 5z−−→
DA = 5(zA−zD) = 5(3 + i−(4−4 i )) =−5 + 25 i . On en déduit que zF =−5 + 25 i +zC =−5 + 25 i +8−2 i = 3 + 23 i .
Dès lors, z−−→FB = 7 + 3 i−(3 + 23 i ) = 4−20 i et z−−→FC = 8−2 i−(3 + 23 i ) = 5−25 i donc z−−→FC = 5
4z−−→FB . Ainsi, −−→
FC = 5 4
−−→FB donc les vecteurs −−→
FB et −−→
FC sont colinéaires et ainsi F, B et C sont alignés.
b. Par définition, −−→
AE = 1 5
−−→AB donc z−−→
AE = 1 5z−−→
AB = 4 5 + 2
5i . On en déduit que zE = 4
5 +2
5i +zA= 4 5+ 2
5i +3 + i = 19 5 +7
5i . Dès lors,z−−→
DE = 19 5 +7
5i−(4−4 i ) =− 1 20+27
20i etz−−→
DF = 3+23 i−(4−4 i ) = −1+27 i doncz−−→DF = 20z−−→DE. Ainsi, −−→
DF = 20−−→
DE donc les vecteurs−−→
DF et−−→
DE sont colinéaires et ainsi D, E et F sont alignés.
c. On conclut que F est le point d’intersection des droites (BC) et (DE).
