Il est donc convexe

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2010-2011 DEGEAD 1

UE 13 – Math´ematiques

Correction du contrˆole continu n^◦2 : 14 d´ecembre 2010

Exercice 1 1. Non. L’´equation du plan est donn´ee par z =x+y.

2. Oui. C’est la somme `a coefficients positifs des fonctions convexes f et−g.

3. C’est un polynˆome de degr´e 2 avec a= 1, c= 1 et b =−1. On a 4ac−b² = 3>0. Il est donc convexe.

4. Pour que la forme quadratique soit strictement positive, il faut et il suffit que rt−s² >0 etr >0, soit λ(λ−2)>0 et λ >0. Donc on trouve λ >2.

Exercice 2 1. On a Df = {(x, y) ∈ R²; 2y 6= x²}. C’est donc R² priv´e de la parabole d’´equationy= ^x₂².

2. D_f est non born´e car il contient la droite d’´equation y = −1. Il est non convexe car il contient les points A = (0,1) et B = (0,−1). Or le milieu de [AB], c’est-`a-dire le point (0,0), n’est pas dans Df.

3. La courbe de niveau k= 0 est donn´ee par :

C₀ ={(x, y)∈D_f;y²−1 = 0}.

C’est donc la r´eunion de droites d’´equation y = 1 et y =−1 priv´ees de leur intersection avec la courbe d’´equationy= ^x₂². La droite d’´equationy=−1 ne coupe pasy= ^x₂² alors que la droite d’´equation y= 1 intersecte y= ^x₂² aux points (−√

2,1) et (√ 2,1).

La courbe de niveau k= 1 est donn´ee par :

C₁ ={(x, y)∈D_f;y²−1 = 2y−x²}.

C’est donc le cercle d’´equation x²+ (y−1)² = 2 priv´e de son intersection avec la courbe d’´equationy= ^x₂², c’est-`a-dire priv´e des points (−√

2,1) et (√ 2,1).

4. f est une fraction rationnelle dont le d´enominateur ne s’annule pas surD_f, donc de classe C² sur son domaine de d´efinition.

5. On a

∂f

∂x(x, y) = 2x(y²−1)

(2y−x²)² et ∂f

∂y(x, y) = 2y

2y−x² − 2(y²−1)

(2y−x²)² = 2y²−2yx²+ 2 (2y−x²)² . 6. On a ^∂f_∂x(1,0) =−2,^∂f_∂y(1,0) = 2, f(1,0) = 1 donc le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 est :

f(1 +h, k) = 1−2h+ 2k+√

h²+k²ε(h, k)

o`uεest une fonction v´erifiant limk(h,k)k→0ε(h, k) = 0. On en d´eduit :f(1 + 0.2,1 + 0.1)' 1−2×0.2 + 2×0.1 = 0.8.

7. Les d´eriv´ees partielles secondes sont donn´ees par

∂²f

∂x²(x, y) = 8(y²−1)x²

(2y−x²)³ + 2(y²−1)

(2y−x²)² = 2(y²−1)(3x²+ 2y) (2y−x²)³

∂²f

∂x∂y(x, y) = 4yx

(2y−x²)² −8(y²−1)x

(2y−x²)³ = 4x(2−yx²) (2y−x²)³

∂²f

∂y²(x, y) = 2

2y−x² − 8y

(2y−x²)² + 8(y² −1)

(2y−x²)³ = 2x⁴−8 (2y−x²)³ 8. Le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 au point (1,0) s’´ecrit :

f(1 +h, k) = 1−2h+ 2k+ 3h²−8hk+ 3k²

+ (h² +k²)ε(h, k) o`uε est une fonction v´erifiant limk(h,k)k→0ε(h, k) = 0.

9. L’´equation du plan tangent est donn´ee par

z−1 =−2(x−1) + 2y=−2x+ 2y+ 2.

Comme le d´eterminant de la matrice hessienne vaut 6×6−8×8 = −12 < 0, le plan tangent coupe le graphe de la fonction au point (1,0). C’est un point selle.

10. C’est un ensemble convexe car c’est l’´epigraphe de la fonction u 7→ ¹₂u² qui est convexe surR. f n’est ni convexe ni concave car on a trouv´e un point (1,0) o`u le d´eterminant de la matrice hessienne est strictement n´egatif.

Exercice 3 1. Le domaine de f est l’ensemble R². (x, y) 7→ x² est un polynˆome donc C¹ sur R. (x, y) 7→ e^x est C¹ sur R² par le lemme d’extension, de mˆeme pour la fonction (x, y)7→e^y. Le produit de ces fonctions, `a savoir f, est donc C¹.

2. On a

∂f

∂x(x, y) = (2x+x²)e^x+y et ∂f

∂y(x, y) =x²e^x+y. 3. Les ´elasticit´es partielles sont donn´ees par :

e_{f /x}(x, y) = 2 +x et e_{f /y}(x, y) =y.

4. (a) D’apr`es la question pr´ec´edente, on a :

e_{f /x}(1,−1) = 3 et e_{f /y}(1,−1) =−1.

On en d´eduit

4f

f = 34x

x − 4y y . Si ^4x_x = 5% et ^4y_y =−5% alors ^4f_f = 20%.

(b) On a les ´equations

4f

f = 34x

x − 4y

y et 4x

x = 4y y .

Si ^4f_f = 10%, on en d´eduit ^4x_x = 5% et ^4y_y = 5%. Ce qui correspond aux nouvelles valeurs x= 1,05 et y=−0,95 de x ety.