TD 3 : ANALYSE CONVEXE
COURS D’APPRENTISSAGE, ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE, AUTOMNE 2014
R´emi Lajugie remi.lajugie@ens.fr
R´esum´e. Ce TD a pour but de faire manipuler les notions fondamentales en analyse convexe vues en cours.
Concernant l’optimisation convexe, des livres de r´ef´erences tr`es accessibles en approfondissement du cours existent. On peut notamment citer le livre de Ste- phen Boyd “Convex Optimization”, disponible en ligne gratuitement `a l’adresse http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf. Pour r´eviser la partie op- timisation du cours, il peut ˆetre int´eressant de jeter un coup d’oeil.
1. S´eparation des convexes compacts dans Rn
On consid`ere deux ensembles convexes compacts et disjointsC et Dde Rn. Montrer qu’il existe une s´eparation stricte de ces deux ensembles, i.e., qu’il existe un hyperplan s´eparantC etD.
Indice : On pourra commencer par consid´erer les points (x, y)∈C×Dminimisantkx−yk2.
2. Convexit´e des fonctions usuelles
1) Montrer quef(x, y) =x2/y est convexe sur certains domaines convexes que l’on pr´ecisera.
2) SoitCun convexe deRn, on appelle indicatrice convexe de l’ensembleCla fonction d´efinie parIC(x) = 0 six∈C et +∞ sinon. V´erifier que IC est bien convexe.
3) Soit Q∈Rn×n, on consid`ere la forme quadratique associ´eef(x) =xTQx. A quelle condi- tion sur Qa-t-on la convexit´e de la fonction f?.
4) Montrer que le sup de fonctions convexes sur Rn est toujours convexe. Est-ce le cas de l’infinmum ?
5) On appelleS+n l’ensemble des matrices sym´etriques positives deRn×n. A l’aide de la ques- tion pr´ec´edente, montrer que l’application f :S+n → R+, M →λmax(M), o`u λmax(M) est la plus grande valeur propre de la matrice M, est convexe.
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3. Dualit´e Lagrangienne
Pour des vecteurs, on d´efinit la relation d’ordre partiel x ≤ y si x−y est dans l’orthant positif (i.e, si toutes ses composantes sont positives). Pour des matrices on note A ≥ B si A−B est dans l’orthant positif et AB si A−B est une matrice sym´etrique semi-d´efinie positive.
6) SoitA∈Rm×n, b∈Rn. On consid`ere un programme lin´eaire d´efini sous la forme canonique suivante :
x∈minRn
cTx
t.q, Ax=b x≥0.
D´eriver un probl`eme dual en utilisant la dualit´e Lagrangienne.
7) SoitA∈Rn×n, b∈Rn,
x∈minRn
xTAx−2bTx t.q, xTx= 1
Ce probl`eme s’apparente aux probl`emes de quotient de Rayleigh. Il fait partie des probl`emes pour lesquels on a dualit´e forte sans avoir la convexit´e du probl`eme primal.
8) Soita1, . . . , an∈Rn etb1, . . . , bm∈R. On consid`ere la fonction affine par morceaux :
∀x∈Rn, f(x) = max
i=1,...,maTix+bi.
D´eriver un probl`eme dual `a la minimisation de cette fonction en introduisant une variable auxiliairet= maxiaTix+bi.
9) Soit W ∈Rn×n, W ≥0 et symm´etrique. D´eriver un probl`eme dual au probl`eme combina- toire suivant (probl`eme de coupe maximale dans un graphe de poidsW) :
z∈{0,1}maxnzTW(1−z)
Indications : Ecrire le probl`eme avec des variables y ∈ {−1,1} puis ecrire l’ensemble discret d’optimisation comme une contrainte d’´egalit´e quadratique.
