Analyse convexe

Universit´e Paris Dauphine, M1, Ann´ee 2016-2017 G. Vigeral

Analyse convexe

Feuille d’exercices 4 : d´erivabilit´e des fonctions convexes.

1. SoitEl’ensemble des suites r´eelles sommables. Le but de l’exercice est d’´etudier la d´erivabilit´e de la fonction norme 1 :f(x) =kxk₁. Pour toutnon noteeⁿla suite dont tous les termes valent 0 sauf len−i`eme qui vaut 1.

1. Soit x∈E telle que x_n= 0. Calculer f⁺(x, eⁿ) et f⁺(x,−eⁿ) et en d´eduire que f⁺(x,·) n’est pas lin´eaire.

2. Soit x ∈ E telle que xn 6= 0 pour tout n. Montrer que f⁺(x, v) = P

nvnsigne(xn). En d´eduire que f est Gˆateaux-diff´erentiable en x.

3. Montrer quef n’est Fr´echet-diff´erentiable en aucun point deE.

2. SoitKun compact deE =Rⁿmuni de la norme euclidienne. On noted_K la fonction distance

`

a k : dK(x) = minz∈Kkx−zk. L’ensemble des minimiseurs (les projet´es de x sur K) est not´e P_k(x).

1. On poseg(x) =kxk²−d_K(x)². Montrer queg(x) = maxz∈K2hx|zi − kzk² et en d´eduire que gest convexe.

2. Soit z ∈ PK(x). Montrer que g(x) = 2hx|zi − kzk². Soit v dans E, montrer que g(x+ tv)−g(x)≥2thv|zi puis queg⁺(x, v)≥max_z∈PK(x)2hv|zi.

3. On fixe une direction v∈E, soitx_i =x+¹_iv etz_i ∈P_K(x_i). Quitte `a extraire une sous suite on suppose quez_iconverge vers un pointz. Montrer queg⁺(x, v)≤i(g(z_i)−g(x))≤ 2hv|z_ii. En d´eduire que g⁺(x, v)≤2hv|zi. Montrer d’autre part quez∈PK(x).

4. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que g⁺(x, v) = max_z∈PK(x)2hv|zi. Montrer que g est Gˆateaux-diff´erentable enx si et seulement siP_K(x) est un singleton.

5. En d´eduire quePK(x) est de mesure nulle.

6. Trouver un K non convexe tel que l’ensemble des x tels que card(P_k(x)) ≥ 2 soit non d´enombrable.

3. Dans cet exercice E est un espace vectoriel norm´e. Soit α un r´eel. Pour toute fonction f :E →R∪+∞et pour tout τ >0 on appelle τ-r´egularis´ee de Moreau-Yosida la fonction

f_τ(x) = inf

u∈Ef(u) + 1

2τkx−uk²

1. Calculer les r´egularis´ees de Moreau Yosida de l’indicatricei_C d’un convexe non videC.

1

2. SiE =R, calculer les r´egularis´ees de Moreau Yosida de la fonction valeur absolue.

3. Dans toute la suite f est convexe continue propre et minor´ee. Montrer que pour tout τ, fτ est convexe et partout finie.

4. Montrer que pour toutx,fτ(x) est d´ecroissante enτ, et que limτ→+∞fτ(x)≥f(x).

5. Montrer que pour toutτ il existeuτ tel quef(uτ) + _2τ¹ kx−uτk²≤fτ(x) +τ. 6. Montrer queuτ tend versx et en d´eduire que limτ→+∞fτ(x) =f(x).

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