Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets. Peut- on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et D ?
Considérons le cercle (Γ) de diamètre AC, le carré (Δ) formé par les tangentes à (Γ) en A et C , et celles parallèles à AC ; enfin les cercles (ΓA ) et (ΓC ) de centres A et C, de même rayon AC.
Tout point B intérieur au carré (Δ ), aux cercles (ΓA ) et (ΓC ) et extérieur au cercle (Γ) voit AC sous un angle inférieur à 90° ; avec son symétrique D par rapport à AC, ils engendrent un quadrilatère convexe ABCD dont AC est la plus grande distance entre sommets, et pour lequel la somme des angles B et D est inférieure à 180°.
