Lyc´ee Schuman Perret
Novembre 2020 Graphe Term Maths expert
1 Les graphes
• Un grapheest un ensemble de points et de lignes reliant certains de ces points.
• Un sommet du graphe est un point du graphe.
• Le nombre de sommets est l’ordre du graphe.
bA
bB
b C
b
D
bE
• Unearˆete du graphe est une ligne reliant deux sommets.
• Uneboucle est une arˆete reliant un sommet `a lui-mˆeme.
b
A
• Un sommet est isol´e lorsque aucune arˆete de le relie aux autres sommets.
• Un graph simple est un graphe sans boucle tel que, entre deux sommets, il y ait au plus une arˆete.
• Deux sommets reli´es par une arˆete sont adjacents.
• Un graphe orient´e est un graphe dont les arˆetes sont orient´ees.
• Une arˆete orient´ee va d’un sommet vers un autre sommet, elle est repr´esent´ee par une fl`eche.
• Ledegr´e d’un sommetest ´egal au nombre d’arˆetes dont ce sommet est une extr´emit´e.
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Th´eor`eme La somme des degr´es de tous les sommets d’un graphe est ´egal au double du✆
nombre total d’arˆetes.
• Un graphe complet est un graphe simple dont tous les sommets sont adjacents les uns avec les autres.
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Propri´et´e Dans un graphe complet d’ordre✆ nil y ansommets, le degr´e de chaque sommet est n−1 et le nombre d’arˆetes est n(n2−1).
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2 Matrice d’adjacence d’un graphe
• Lalongueur d’une chaˆıne est le nombre d’arˆetes qui la composent.
• La distance entre deux sommets d’un graphe connexe est la longueur de la chaˆıne qui les relie, ayant le moins d’arˆetes.
• Le diam`etre d’un graphe connexe est la plus grande distance constat´ee entre deux sommets de ce graphe parmi toutes les paires de sommets.
bA
bB
b
C b
D
bE
• Lamatrice d’adjacenced’un graphe d’ordre n (resp. graphe orient´e d’ordren) est la matrice carr´ee A de taille n×n, dont l’´el´ement ai,j est ´egal au nombre d’arˆetes reliant les sommets iet j. (resp. allant du sommet i vers le sommet j).
Exemple : avec le graphe pr´ec´edent la matrice est A =
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
Remarque : comme la graphe n’est pas orient´e, la matrice est dite sym´etrique (par rapport
`a la diagonale principale)
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Th´eor`eme Soit✆ A la matrice d’adjacence d’un graphe et soit p>1 alors, l’´el´ement situ´e en i, j de la matrice Ap est ´egal au nombre de chaˆınes de longueur p reliant le sommet i au sommet j.
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