D269. Le périmètre minimum
Les diagonales AC et BD d’un quadrilatère convexe ABCD mesurent 560 mm et 870 mm et déterminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre le plus proche?
Solution proposée par Bernard Grosjean
Montrons que le périmètre minimum est obtenu si les 2 diagonales se coupent en leur milieu.
Soit AC = 2n et BD = 2m et soit I le point d'intersection des 2 diagonales.
Si AI = IC = n =280 mm et BI = ID = m = 435 mm, nous avons : BA = CD = a et BC = AD = b
Dans le triangle ABI : (AB)2 = (AI)2 + (BI)2 – (AI)x(BI) car 2cos(60°) = 1 Dans le triangle BIC : (BC)2 = (BI)2 + (IC)2 + (BI)x(CI) car 2 cos(120°) = -1 Soit
a2 = n2 + m2 – mn et b2 = n2 + m2 + mn et en remplaçant par les valeurs numériques :
a2 = 145 825 et b2 = 389 425 soit a = 381,8703 mm et b = 624,0392 mm
soit un périmètre p = 2(a+b) = 2 011,819 mm, donc, au mm le plus proche
2 012 mm
Si les diagonales ne se coupent pas en leur milieu, soit en un point E distinct de I, nous avons (voirla figure) :
AE = n + Δx ; BE = m - kΔx ; BA = a1 ; BC = b1
EC = n - Δx ; ED = m + kΔx ; CD = a2 ; AD = b2
Dans le triangle ABE :
a12 = (m - kΔx)2 + (n+ Δx)2 – (m – kΔx)(n + Δx)
= (n2 + m2 – mn) + [n(2+k) - m(2k+1)] Δx + (k2 + k + 1) Δx2 = a2 + [n(2+k) - m(2k+1)] Δx + (k2 + k + 1) Δx2
Dans le triangle CDE :
a22 = (m + kΔx)2 + (n - Δx)2 – (m + kΔx)(n – Δx)
= (n2 + m2 – mn) + [m(2k+1) - n(2+k) ] Δx + (k2 + k + 1) Δx2 = a2 + [m(2k+1) - n(2+k) ] Δx + (k2 + k + 1) Δx2
On a donc, tenant compte que Δx est petit devant a :
a1 = a [1 + A Δx + BΔx2]1/2, avec A = [n(2+k) - m(2k+1)]/ a2 et B = (k2 + k + 1)/ a2
= a [1 + 1/2( A Δx + BΔx2] a2 = a [1 - A Δx + BΔx2]1/2 = a [1 - 1/2( A Δx + BΔx2]
On a finalement : a1 + a2 = 2a + [(k2 + k + 1)/ a]Δx2 donc a1 + a2 > 2a
Par un calcul similaire, on trouverait : b1 + b2 > 2b, ce qui prouve que le périmètre minimum est donné pour a1 = a2 et b1 = b2
