D269. Le périmètre minimum
Les diagonales AC et BD d’un quadrilatère convexe ABCD mesurent 560 mm et 870 mm et déterminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre le plus proche?
Solution proposée par Gaston Parrour
On a affaire à un problème d'extremum. Une certaine symétrie rend compte en général de l'extremum cherché.
Les deux diagonales de longueurs fixées, respectivement L et l, font entre elles un angle fixe de 60°.
Les deux seuls paramètres indépendants sont donc reliés à la position du point d'intersection I des diagonales.
Ce point I définit :
sur L deux segments de longueur respective x et L – x sur l deux segments de longueur respective y et l – y
Le périmètre de ABCD est donc une fonction P (x,y) dont il faut trouver l'extremum - ici le minimum.
Dans un triangle tel que ABI ,
AB = rac [ (L-x)2+(l-y)2 -2(L-x)(l-y) cos AIB ] avec dans ce cas, cos AIB = 1/ 2 Les autre segments se calculent de la même façon.
Si P(x,y) désigne le périmètre du quadrilatère, on obtient :
P(x,y) = rac ( (L-x)2+(l-y)2 - (L-x)(l-y) ) + rac ( (L-x)2+(y)2 + (L-x)(y) ) + rac ( (x)2+(y)2 - (x)(y) ) + rac ( (x)2+ (l-y)2 + (x)(l-y) ) (1) Une configuration symétrique est celle où I est à la fois le milieu de la diagonale AC et celui de la diagonale BD.
Pour montrer qu'il s'agit d'un extremum, il faut établir que pour cette configuration, les dérivées partielles s'annulent.
d P/ d x = 0 et d P / d y = 0 où la notation « d » est pour la dérivée partielle P(x,y) est de la forme P(x,y) = a + b + c + d où a, b, c, d sont les radicaux de (1)
Ainsi 2 d P/ d x = ( -2(L-x) +(l-y) )/a + ( -2(L-x) – y )/b + ( 2x -y )/c + ( 2x +(l-y) )/d (2) Le calcul de d P / d y conduit à une expression analogue où x et y sont échangés ainsi que L et l.
x y L-x
l-y A
B
C D I
Dans le cas où I est au milieu des diagonales, x = L /2 et y = l /2 L .
On constate alors que les radicaux sont égaux deux à deux : a = c et b = d
De plus dans l'expression (2) de 2 d P/ d x , les numérateurs du premier et du troisième terme sont opposés, et de même les numérateurs du second et du quatrième terme sont opposés.
Donc d P/ d x (L /2, l /2) = 0 , et de façon analogue on obtient d P/ d y (L /2, l /2) = 0
A partir de cela, on a en ce point un extremum pour le périmètre P(x , y).
Pour établir que cet extremum est un minimum, on peut simplement vérifier par le calcul en comparant par exemple
P ( L /2, l /2) et P (0, 0)
Cette dernière valeur P (0,0) correspondant au cas limite où le quadrilatère se réduit au triangle A B (C,D) -les points C et D étant alors confondus et AB est la longueur opposée à l'angle de 60°
N.B. Ce cas limite conduit à un périmètre inférieur à celui où les deux points B et C seraient confondus (triangle A D (B,C))
On trouve P (0,0) = 560 + 870 + rac ( 5602 + 8702 - 560.870) = 2193, 74 …
et P (435, 280) = 2 x [ rac ( 2802 + 4352 – 280.435 ) + rac ( 2802 + 4352 + 560.870 ) ] = 2011.819 …
Donc cet extremum pour x = L / 2 et y = l / 2 est bien le minimum du périmètre de tous les quadrilatères partageant les caractéristiques de l'énoncé.
== > Périmètre minimum au mm le plus proche P (L/2, l/2) = 2012 mm
