Solution proposée par Gaston Parrour

A634. Le légendaire Barbe-Noire

Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus.

Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.

Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le mieux loti à l’issue de chaque redistribution donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.

Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.

Avant le premier partage de Barbe-Noire,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.

Source : d’après Antoine-Frédéric Ozanam de l’Académie Royale des Sciences – Récréations mathématiques et physiques- Tome 1 page 253 (éditeur Claude-Antoine Jombert)

Solution proposée par Gaston Parrour

Notations

L'ensemble {xi} représente les avoirs initiaux des pirates

N.B. les indices sont en ordre croissant, du mieux loti au moins loti ; x1 > x2 > x3 … > xn i = 1 est Barbe-Noire, i = 2 est son second i = 3 est le plus loti des suivants, etc … Le butin est N < 500 000 → N = x1+x2 + … + xn

Remarque : le processus décrit dans l'énoncé sous-entend au cours de ces opérations :

- que jamais celui qui a distribué se retrouve encore ''un mieux loti'' (chacun ne distribue qu'une fois) - que le ''plus loti'' appelé à distribuer, soit alors en mesure de le faire : doubler l'avoir des autres.

→ En suivant l'énoncé cela est donc admis dans la suite → Pour prendre en compte les données de l'énoncé

1 - '' Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus'' État initial des avoirs x1 x2 x3 x4 … xn

Première étape [1] → x1 – (x2+x3+ … + xn) = 2x1 – N pour les autres [i >1] → 2xi

Deuxième étape [1] → 2 (2x1 – N)

[2] → 2x2 – [(2x1-N) + 2(x3+x4+ … +xn)] = 4x2 – N [i >2] → 4xi

Troisième étape [1] → 2²(2x1 – N) [2] → 2(4x2 - N)

[3] → 4x3 – [2(2x1-N) +(4x2 – N) + 4( x4+ … +xn)] = 8x3 – N [i >3] → 8xi

→

[2] → 2^n-2(2^²x2 – N) …...

[n] → 2⁰ (2ⁿxn – N) ''Ces avoirs finals sont égaux'' → chacun est égal à N/n Donc l'avoir initial de l'un quelconque d'entre eux, [p], est

xp = N/(n2ⁿ) + N/2^p (1) 2 – Initialement ''l'un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin'' xr – xs = 1905

N.B. Étant donné que l'indice de x est ici celui du plus loti au moins loti, les pirates ne sont pas nécessairement rangés dans cet ordre là, et entre deux voisins, a priori l'écart entre indices vérifie seulement 0 < (s-r) <n

Avec m = (s-r)

xr – xs = N/2^r – N /2^s = N/2^r (1 – 1/2^m) = 1905 = 3 . 5 . 127 d'où

N = 2^s . 3 . 5 . 127 / (2^m – 1) (2)

→ Puisque N est un entier, cela définit des valeurs permises pour m

( 2^s ,(2^m – 1) ) = 1 donc (2^m – 1) | 3 ou 5 ou 127 ou des composés de ceux-là (2^m – 1) | 3 → m = 1 ou m = 2

(2^m – 1) | 5 → m = 1

(2^m – 1) | 127 → m = 1 ou m = 7

(2^m – 1) | 15 → m = 1 ou m = 2 ou m = 4

N.B. Les autres composés : ils ne sont pas de la forme 2^m – 1 , donc ne donnent pas de nouvelles valeurs de m

→ Valeurs possibles de m = s - r → 1 2 4 7 (3)

3 – Les avoirs initiaux xp sont des entiers Leur expression donnée par (1) implique

- 2ⁿ | N et avec N donné par (2) → s = n (→ au départ, le moins loti des 2 est en fait le dernier)

- n | N donc a priori

n = 3 5 127 3.5 3.127 5.127 3.5.127 → Avec ce qui précède, considérons pour chaque valeur de n ci-dessus : - les valeurs de m compatibles, données par (3) ( avec m < (n-1) ) - la valeur de N, sachant que N < 500 000 écus

n = 3 alors m = 1 ou m =2 m = 1 (x3 – x2 = 1905)

(2) → N = 2³ . 3 . 5 . 127 = 8 . 1905 = 15 240

(1) → x1 = 5.127 + 2² . 3 .5 .127 = 8 255 (x2 et x3 se calculent de même)

==> Avec n= 3 (et m =1) → x1 initial de Barbe-Noire = 8255 (N = 15240) (SOL1) m = 2 (x3 – x1 = 1905)

(2) → N = 2³ . 5 . 127 alors n = 3 ne divise pas N ! n = 5 alors m = 1 ou 2 ou 4

m = 1 (x5 – x4 = 1905)

(2) → N = 2⁵ . 3 . 5 . 127 = 60 960

(1) → x1 = 3.127 + 2⁴ . 3 . 5 . 127 = 30 861

==> Avec n= 5 (et m = 1) → x1 initial de Barbe-Noire = 30 861 (N = 60 960) (SOL2) m = 2 (x5 – x3 = 1905)

(2) → N = 2⁵ . 5 . 127 = 20 320

(1) → x1 = 127 + 2⁴ . 5 . 127 = 10 287

==> Avec n= 5 (et m = 2) → x1 initial de Barbe-Noire = 10287 (N = 20 320) (SOL3) m = 4 (x5 – x1 = 1905)

(2) → N = 2⁵ . 127 alors n = 5 ne divise pas N n = 15 alors m = 1 ou 2 ou 4 ou 7

La relation (2) montre qu'alors pour m = 1 ou 2 ou 4 → N > 500 000 m = 7 (x15 – x8 = 1905)

(2) → N = 2¹⁵ . 3 . 5 = 491 520 et (1) → x1 = 1+ 2¹⁴ . 3 . 5 = 245 761

==> Avec n= 15 (et m = 7) → x1 initial de Barbe-Noire = 245 761 (N = 491 520) (SOL4)

N.B. Pour toutes les autres valeurs de n (composées de 127) on obtient N > 500 000 ( pour m = {1,2,4,7} )

Conclusion Bien qu' a priori les 4 solutions précédentes sont acceptables (compte tenu des données de l'énoncé) , Barbe-Noire n'étant pas homme de ''faibles butins'', je choisis la solution (SOL4) comme la plus plausible ==> Il y a 15 pirates en tout et Barbe-Noire s'est octroyé au départ 245 761 écus (pour un butin de N= 491 520 écus)