Diophante A634 Le légendaire Barbe-Noire
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le mieux loti à l’issue de chaque redistribution donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le premier partage de Barbe-Noire,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Appelons S le même nombre d’écus détenus par Barbe-Noire et les P-1 pirates à la fin.
Numérotons les pirates de 1 à P-1 de gauche à droite dans l’ordre inverse de ceux qui donnent aux autres (et dans l’ordre croissant des butins respectifs au tout début) puis ajoutons Barbe-Noire (P) tout à droite.
Après la redistribution P (celle du pirate 1), la répartition est {S, S, S, … , S}.
Après la redistribution P-1 (celle du pirate 2), elle est {(P+1)S/2, S/2, S/2, … , S/2}.
Après la redistribution P-2 (celle du pirate 3), elle est {(P+1)S/4, (2P+1)S/4, S/4, … , S/4}.
Après la redistribution P-i (celle du pirate i+1), elle est {(P+1)S/2i, (2P+1)S/2i, (4P+1)S/2i, … , S/2i}.
Au début (après la redistribution 0, avant celle du pirate P c’est-à-dire celle de Barbe-Noire), elle est {(P+1)S/2P, (2P+1)S/2P, (4P+1)S/2P, … , (2P-1P+1)S/2P}.
Pour raison de parité, S = k2P car P > 1.
Barbe-Noire détient k(2P-1P+1) écus.
Les butins se comportent comme k(P+1), k, k, … , k. L’indication de l’énoncé sur écart entre deux butins (ceux des pirates 1 et j non donné) implique que k et P soient impairs.
3 x 5 x 127 = 1 905 = k{(2j-1P+1) – (P+1)} = k(2j-1 – 1)P.
D’où 4 solutions.
1/ j = 8 et kP = 15. 8 ≤ P donc P = 15 et k = 1. k(2P-1P+1) = 245 761.
Le nombre de pirates est 15 (y compris Barbe-Noire) et le nombres d’écus détenus initialement par Barbe-Noire est 245 761, le butin total étant 491 520.
Sur le tableau, le rouge indique le pirate redistributeur, ce qui donne la colonne suivante.
j = 5 et kP = 127 premier. Impossible car P > 1 et 1 x (2126 x 127 + 1) serait beaucoup trop grand.
2/ j = 3 et kP = 635. En écartant 1, 127 et 635, il reste P = 5 et k = 127.
Le nombre de pirates est 5 (y compris Barbe-Noire) et le nombres d’écus détenus initialement par Barbe-Noire est 10 287, le butin total étant 20 320.
3 et 4/ j = 2 et kP = 1 905. En écartant 1, 15 (trop grand ici), 127, il reste P = 5 et P = 3.
3/ Le nombre de pirates est 5 et le nombres d’écus détenus initialement par Barbe-Noire est 30 861, le butin total étant 60 960.
4/ Le nombre de pirates est 3 et le nombres d’écus détenus initialement par Barbe-Noire est 10 160, le butin total étant 15 240.
Jean-Louis Legrand
