A634 – Le légendaire Barbe-Noire [*** à la main ]
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le pirate devenu le mieux loti donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le partage,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Source : d’après Antoine-Frédéric Ozanam de l’Académie Royale des Sciences – Récréations mathématiques et physiques- Tome 1 page 253 (éditeur Claude-Antoine Jombert)
Solution proposée par Michel Boulant
La relation à percer sur ce problème est celle entre 2 pirates consécutifs : pk - p(k+1) = S / 2 ^ (k+1) si S est le total redistribué.
Il en résulte que 1905, impair, est l'écart entre le dernier et l'avant-dernier pirate et que S = 1905 * (2 ^ n). S étant limité à 500 000 et n impair < 8, on trouve 2 solutions :
- 3 pirates : 8255, 4445, 2540 avec S = 15240.
- 5 pirates : 30861, 15621, 8001, 4191, 2286 avec S = 60960.
