A634 – Le légendaire Barbe-Noire [*** à la main ]
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le pirate devenu le mieux loti donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le partage,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Source : d’après Antoine-Frédéric Ozanam de l’Académie Royale des Sciences – Récréations mathématiques et physiques- Tome 1 page 253 (éditeur Claude-Antoine Jombert)
Solution proposée par Elie Stinès
Première version
5 scélérats se partagent équitablement le magot bien que Barbe Noire se soit initialement adjugé 10287 écus.
Le rapide programme (en Python) que voici confirme cette solution :
def barbe(L):
for i in range(len(L)):
print 'Etape',i+1
total = sum(L[j] for j in range(len(L)))-L[i]
for j in range(len(L)):
if i != j : L[j] = 2*L[j]
L[i] = L[i]-total print L
print(barbe([10287,5207,2667,1397,762]))
Ma démarche (un brin laborieuse) fut la suivante :
Le butin de Barbe Noire doublant à chaque étape à partir de l’étape 2, son magot final est de la forme 2^{n- 1}*a (où n est le nombre de malfrats et a est un entier naturel non nul). Ce butin final étant le même pour tous les flibustiers, le pactole total est de 2^{n-1}*a*n.
Avant la dernière étape, les n-1 premiers bandits ont chacun 2^{n-2}*a écus et le dernier en possède donc 2^{n-1}*a + (n-1)*(2^{n-2}*a), c’est-à-dire (n+1)*2^{n-2}*a. Cette épargne n’ayant fait que doubler depuis le début des réjouissances, son magot initial était de (n+1)*a.
En appliquant le même raisonnement aux autres fripouilles, les différents bas-de-laine initiaux sont (par ordre croissant) : (n+1)*a , (2n+1)*a , (4n+1)*a , … , (2^{n-1}*n+1)*a.
La différence de compte en banque initial entre deux garnements est de 1905 écus. Or d’après la ligne précédente, cette différence est nécessairement de la forme (2^i - 2^j)*n*a (avec i et j entiers entre 0 et n-1).
Il se trouve que 1905 = 3 x 5 x 127. Chacun de ces trois facteurs correspond soit à 2^i-2^j, soit à n, soit à a.
n ne peut être égal à 127, sinon le magot total serait de 2^126*a*127 (voir fin du 1er paragraphe de cette démarche), ce qui dépasse quelque peu les 500 000 écus.
n ne peut être égal à 3, car on ne peut trouver de différence 2^i - 2^j égale à 5 ou 127 avec i et j compris entre 0 et 2.
n est donc égal à 5 : nous tenons le nombre de malandrins.
Mais on ne peut trouver de différence 2^i - 2^j égale à 127 avec i et j compris entre 0 et 4.
Ainsi 2^i - 2^j = 3 (donc i = 2 et j = 0) et a = 127.
On applique les différentes formes obtenues dans le 3ème paragraphe de cette démarche avec n = 5 et a = 127 et on savoure un repos bien mérité.
Deuxième version
n peut toujours être égal à 5, auquel cas a = 3 x 127 = 381 et on obtient [30861,15621,8001,4191,2286]
comme nouvelle liste.
n peut être égal à 3, auquel cas a = 5 x 127 = 635 et on obtient [8255,4445,2540] comme butins possibles (auquel cas mon précédent mail peut se ré-intituler ''Barbe Noire et les deux chenapans)
