Enoncé A634 (Diophante) Le légendaire Barbe-Noire
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récu- pèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le mieux loti à l’issue de chaque redistribution donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus. Avant le premier partage de Barbe-Noire,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin.
Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En fin de processus, chacun desn pirates détiente écus. Je numérote les pirates de 1 (Barbe-Noire) àndans l’ordre où ils redistribuent.
Avant distribution par le piraten, les (n−1) autres ont chacune/2, et le piraten: (n+ 1)e/2.
Avant distribution par le piraten−1, les (n−2) premiers ont chacune/4, le pirate (n−1) : (2n+ 1)e/4, et le pirate n: (n+ 1)e/4.
Avant distribution par le piraten−2, les (n−3) premiers ont chacune/8, le pirate (n−2) : (4n+ 1)e/8, le pirate (n−1) : (2n+ 1)e/8, et le pirate n: (n+ 1)e/8, et ainsi de suite.
A d distributions de la fin, les (n−d) premiers ont chacun e/2d, et les piratesn−d+f (f = 1 àd) ont (n·2d−f + 1)e/2d.
Avant toute distribution, le pirate f (f = 1 à n) a (n·2n−f + 1)e/2n. La différence entre les pirates f et f−1 (f = 2 à n) est alors en/2f. En particulier en est multiple de 2n, ainsi que e pour que l’avoir initial du piraten, (n+ 1)e/2n, soit un nombre entier d’écus.
Pour queen/2f soit l’entier impair 1905, il faut f =n,e/2n entier impair, en/2n= 1905.
en <500000 entraîne 2n<500000/1905 etn <9 ; nest diviseur de 1905, donc n = 3 ou 5. Mais l’indication “Tous les autres pirates” conduit à écarter le casn= 3.
Ainsin= 5, le butin est 1905·25= 60960 écus, répartis initialement 30861, 15621, 8001, 4191, 2286 = 4091−1905. Au final chacun a 12192 = 381·25.
