A634 – Le légendaire Barbe-Noire [*** à la main ]
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le pirate devenu le mieux loti donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le partage,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Source : d’après Antoine-Frédéric Ozanam de l’Académie Royale des Sciences – Récréations mathématiques et physiques- Tome 1 page 253 (éditeur Claude-Antoine Jombert)
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons la situation initiale 0 : a1 a2 a3 ... an où a1 est le nombre d'écus détenus initialement par Barbe-Noire et n le nombre de pirates.
Soit le butin s = a1+...+an < 500000
Examinons ce qu'il se passe à chaque étape 1 : 2a1-s 2a2 2a3 ... 2an
2 : 2(2a1-s) 4a2-s 4a3 ... 4an
3 : 2^2(2a1-s) 2(4a2-s) 8a3-s 8a4 ... 8an
4 : 2^3(2a1-s) 2^2(4a2-s) 2(8a3-s) 16a4-s 16a5 ... 16an ...
n : 2^(n-1)(2a1-s) 2^(n-2)(4a2-s) 2^(n-3)(8a3-s) ... 2^(n-n)(2^n*an-s) n : 2^n*a1-2^(n-1)s 2^n*a2-2^(n-2)s ... 2^n*an-s
n : s/n s/n ... s/n
Nous vérifions que s=2^(i+1)(a_i - a_{i+1}) pour tout i=1...n-1 Ainsi il existe i<n tel que a_i - a_{i+1} = 1905 = 3*5*127 Alors s=1905*2^(i+1) < 500000 => 2^(i+1) < 263 => i=<7
s/n = 2^n*a1-2^(n-1)s => a1 = s(1+n*2^(n-1))/n*2^n D'où a1 = 1905*(1+n*2^(n-1))/n*2^(n-i-1).
a1 est entier, son numérateur est impair, donc n=i+1.
Ainsi a1 = 1905*(1+n*2^(n-1))/n, d'où n=3 ou 5 puisque n=<8, et s=1905*2^n
Cas n=3 : a1 = 8255, s = 15240 8255 4445 2540
1270 8890 5080 2540 2540 10160 5080 5080 5080
Cas n=5 : a1 = 30861 et s = 60960 30861 15621 8001 4191 2286 762 31242 16002 8382 4572 1524 1524 32004 16764 9144 3048 3048 3048 33528 18288 6096 6096 6096 6096 36576 12192 12192 12192 12192 12192
Compte tenu du "tous les autres pirates", le cas n=5 est à privilégier.
Il y a donc 5 pirates et Barbe-Noire détient 30861 écus initialement.
