A634 – Le légendaire Barbe-Noire [*** à la main ]
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière,une fois et une seule,le pirate devenu le mieux loti donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le partage,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin. Déterminer le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Source : d’après Antoine-Frédéric Ozanam de l’Académie Royale des Sciences – Récréations mathématiques et physiques- Tome 1 page 253 (éditeur Claude-Antoine Jombert)
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Avec un butin S nettement inférieur à 500.000 écus j'ai 2 solutions : 1) un très maigre butin de 15.240 écus à partager en 3
2) un moins maigre butin de 60.960 écus à partager en 5 .
Avec 15 pirates le butin serait 62.423.040 > 500.000 . mais le moins loti aurait toujours 1905 écus de moins que son voisin .
Et Barbe-noire aurait récupéré au départ 31.211.647 écus sur un butin de 62.423.040 écu ; les deux moins loti : 2032 & 3937 écus .
Inversons le processus :
Au départ , tous les pirates possèdent un nombre égal de pièces d'or . Appelons cette somme A , et S = n.A : le butin .
Si n est le nombre de pirates , le dernier des pirates , c'est à dire Barbe Noire , puisqu'on remonte le temps , voit sa fortune divisée par 2
n-1 fois de suite à l'issue de la n-1 ième distribution . Juste avant le dernier partage , il possède : S / (n.2n-1) . Au dernier partage il récupère la moitié du reste . Barbe noire possède donc au final : S . ( 1 + n.2n-1 ) / ( n.2n ) .
La somme totale S est inférieure à 500.000 écus .
S = n.A . Comme on remonte le temps , les 2 premiers à se servir et qui vont voir leur fortune par la suite se réduire comme une peau de chagrin
vont au final avoir un différentiel de 1905 écus . Les autres auront dans cet ordre : P2 - P1 = Y - X = 1905
P3 - P2 = 2 x 1905 P4 - P3 = 2² x 1905 ...
BN - P n-1 = 2n-2 x 1905 .
Calculons X la part finale de P1 : X = (n+1)/2 x 2n-1 x A .
Calculons de même Y la part finale de P2 : Y = (2n+1)/4 x 2n-2 x A .
Alors : Y - X = 1905 = n.A / 2n => S = n.A = 2n x 1905 . Mais comme A = k x 2n , alors S = n.k.2n = 2n x 1905 . Alors n.k = 2 x 1905 ; n et k divisent 1905 = 3 x 5 x 127 .
Avant le jeu des partages , Barbe noire est le grand gagnant , les parts de chacun des pirates sont les suivantes :
Barbe noire : (1/n + 2n-1) x 1905 écus . pirate 2 : (1/n + 2n-2) x 1905 écus
pirate 3 : (1/n + 2n-3) x 1905 écus ...
pirate n-1 : (1/n + 21) x 1905 écus pirate n : (n+1)/n x 1905 écus
Si n = 3 , k = 635 , A = 635 x 2³ = 5080 . Le butin est maigre : 15.240 écus ; par rapport aux journées à 500.000 balles.
Et le tableau des distributions suivant :
Barbe noire pirate 2 pirate 3 8255 4445 2540 1270 8890 5080 2540 2540 10160 5080 5080 5080
Si n = 5 , k = 381 , A = 381 x 25 = 12192 . Le butin est de 60.960 écus ; un peu meilleur mais encore loin des 500.000 écus .
Et le tableau des distributions suivant : avec 4191 - 2286 = 1905 ; 8001 - 4191 = 2 x 1905 ; 15621 - 8001 = 4 x 1905
30861 - 15621 = 8 x 1905 .
5 pirates se partagent 60960 écus et Barbe noire en possédait : 30861
Barbe noire pirate 2 p3 p4 p5 30861 15621 8001 4191 2286 762 31242 16002 8382 4572 1524 1524 32004 16764 9144 3048 3048 3048 33528 18288 6096 6096 6096 6096 36576 12192 12192 12192 12192 12192
Si le terme « voisin » signifie simplement que les deux pirates sont l’un à côté de l’autre et que leurs butins respectifs ne sont pas nécessairement deux termes consécutifs de la suite ordonnée des butins de tous les pirates et si dans l'ordre des distributions Barbe noire opère le premier,alors on peut écrire :
1905 = 15 x 127 = 15 x ( 27 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 +.... + 32 + 64 = P8 - P15
Les différentiels entre chacun des derniers à partager sont dans cet ordre : P15 _ 15 _ P14 _ 2 x 15_ P13 4 x 15 ... P9 _ 64 x 15 _P8
Et les pirates ont récupéré ces 15 sommes :
16 ; 31 ; 61 ; 121 ; 241 ; 481 ; 961 ; 1921 ; 3841 ; 7681 ; 15361 ; 30721 ; 61441 ; 122881 ; 245761 . la part de Barbe noire est encore la moitié du butin + 1 écu .
La somme vaut 15 x 215 = 491520 . La part finale de chacun après partage est 215 = 32768 écus .
