Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus.
Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par
mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière, une fois et une seule, le mieux loti à l’issue de chaque redistribution donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.
Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.
Avant le premier partage de Barbe-Noire, l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin.
Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.
Soit n le nombre de pirates et classons les dans l’ordre où chacun va distribuer ses écus. Si chacun a, in fine, s écus, le butin est égal à ns.
Après chaque distribution, s’il reste x au distributeur, les autres ont ensemble ns-x, donc il a distribué (ns-x)/2 et possédait (ns+x)/2 avant.
Avant la dernière distribution par le pirate n, les pirates numérotés de 1 à n-1 avaient chacun s/2, donc le pirate n a distribué (n-1)s/2 et avait (n+1)s/2.
On peut résumer les sommes détenues par des pirates numérotés de 1 à n : Après la dernière distribution : s, ..., s
Avant la dernière distribution : s/2,...,s/2, (n+1)s/2
Avant l’avant-dernière distribution : s/4, ..., s/4, (2n+1)s/4, (n+1)s/4) ...
Avant la première distribution : (2n-1n+1) s/2n, ... , (2n-in+1)s/2n, ..., (n+1)s/2n. Donc s/2n=k est entier ; de plus, il existe deux entiers i et j tels que :
(2n-in+1)s/2n-(2n-jn+1)s/2n=1905, donc (2j-i-1)ns=1905*2j ; or 1905=3*5*127 et 127=27-1, donc j-i=7 avec j≥8, ns=15*2j ;j≤n et s=k*2n, donc j=n=15 et k=1, soit s=215=32768 et ns=491 520.
Il y a donc 15 pirates et Barbe Noire détenait initialement 214*15+1=245 761 écus.
