Problème proposé par Augustin Genoud
Onze pirates tiennent un conciliabule après avoir récupéré lors de leur dernière sortie en mer un butin de 20 pièces d'or. Ils décident d’abord de se numéroter de 1 à 11, par tirage au sort.
Le numéro 11 proposera une première répartition de partage qui sera soumise au vote des onze pirates.
Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates disent oui à la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 11 sera jeté à la mer et le numéro 10 proposera une nouvelle répartition de partage qui sera soumise au vote des dix pirates restants. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates restants approuvent la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 10 sera jeté à la mer et le numéro 9 proposera une nouvelle répartition de partage selon le même principe que précédemment.
Etonnamment, chaque pirate est un excellent logicien qui acceptera toujours une répartition du butin si elle lui assure d’obtenir plus de pièces qu’il ne peut espérer en recevoir lors d’une autre répartition et il fera tout pour en avoir un maximum.
Combien de pièces va pouvoir être assuré de recevoir le pirate qui en recevra le plus ? Quel est le numéro de ce pirate ?
Nota : Définition de la majorité des trois quarts du nombre x de pirates :
- Si le résultat des trois quarts de x est un nombre entier a, alors la majorité absolue est a.
- Si le résultat des trois quarts de x est b qui n’est pas un nombre entier, alors la majorité absolue est le nombre entier immédiatement supérieur à b.
Nous supposerons que la répartition a lieu en haute mer, et que chaque pirate tient à sa vie, au point d’accepter une répartition dans laquelle il ne reçoit rien, plutôt que de passer par dessus bord... Nous noterons (a1, a2, ..., an) la proposition du pirate n attribuant a1 pièces au n° 1, etc...
La règle de la majorité des 3/4 entraîne que le nombre de pirates dont l’opposition fait jeter à la mer celui qui propose, est de 3 entre 8 et 11 pirates, 2 entre 4 et 7, et 1 en dessous : donc, si le nombre de pirates diminue jusqu’à 3, il suffit au n°1 de s’opposer à tout partage pour empocher l’intégralité du butin (20 pièces). L’intérêt des n° 2 et 3 est donc d’accepter toute répartition proposée par n°4, même la plus inégalitaire (gardant pour lui les 20 pièces).
Pour ne pas passer par dessus bord, le n°5 doit faire accepter sa proposition par les n°1, 2 et 3, donc majorer d’une pièce l’offre de 4 ; soit (1, 1, 1, 0, 17).
De même l’offre du n°6 doit être (2, 2, 2, 1, 0, 13), celle du n°7 : (3, 3, 3, 2, 1, 0, 8)
Pour le n°8, il peut y avoir deux insatisfaits, 7 et 3 (ou 1 ou 2), et il peut proposer (4, 4, 0, 3, 2, 1, 0, 6). De même avec 8 et 2 insatisfaits, le n°9 peut proposer (5, 0, 1, 4, 3, 2, 1, 0, 4), puis avec 1 et 9 insatisfaits, le numéro 10 peut proposer (0, 1, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 2), et enfin avec 4 et 5 insatisfaits, le n°11 proposera (1, 2, 3, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1)
Le pirate n°6 aura donc 4 pièces d’or...
Remarquons qu’avec une hypothèse légèrement différente, dans laquelle les pirates n’accordent aucune valeur à leur vie (ou savent nager jusqu’à la côte), et où la proposition du n°4 doit être (0, 1, 1, 18), on arrive... au même résultat final : les pièces supplémentaires des pirates n°2 et 3 étant «récupérées» lorsque c’est leur tour d’être insatisfaits.
