E5900 – Les pirates [*** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Onze pirates tiennent un conciliabule après avoir récupéré lors de leur dernière sortie en mer un butin de 20 pièces d'or. Ils décident d’abord de se numéroter de 1 à 11, par tirage au sort.
Le numéro 11 proposera une première répartition de partage qui sera soumise au vote des onze pirates. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates disent oui à la
proposition. Si elle est rejetée, le numéro 11 sera jeté à la mer et le numéro 10 proposera une nouvelle répartition de partage qui sera soumise au vote des dix pirates restants. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates restants approuvent la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 10 sera jeté à la mer et le numéro 9 proposera une nouvelle répartition de partage selon le même principe que précédemment.
Etonnamment, chaque pirate est un excellent logicien qui acceptera toujours une répartition du butin si elle lui assure d’obtenir plus de pièces qu’il ne peut espérer en recevoir lors d’une autre répartition et il fera tout pour en avoir un maximum.
Combien de pièces va pouvoir être assuré de recevoir le pirate qui en recevra le plus ? Quel est le numéro de ce pirate ?
Nota : Définition de la majorité des trois quarts du nombre x de pirates :
- Si le résultat des trois quarts de x est un nombre entier a, alors la majorité absolue est a.
- Si le résultat des trois quarts de x est b qui n’est pas un nombre entier, alors la majorité absolue est le nombre entier immédiatement supérieur à b.
Solution proposée par Daniel Collignon Remarques:
* Doit-on interpréter "plus" dans la phrase "si elle lui assure d’obtenir plus de pièces" au sens large ou strict
? ici j'ai pris au sens large.
* Comment intègre-t-on le critère "rester en vie" prioritaire face au gain ?
Notons p_i le ième pirate pour i=1 à 11.
Tableau de la majorité (des 3/4) :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9
Tentons une analyse rétrograde.
Si p_1 était seul, il aurait bien entendu la majorité pour sa proposition de prendre 20 pièces !
Comme il a tout intérêt à se retrouver dans cette configuration, il votera contre toute autre proposition qui lui assurerait moins.
Ainsi p_2 et p_3 n'auront pas la majorité et leurs propositions seront rejetées.
Pour obtenir la majorité, p_4 propose (18, 1, 1, 0) afin que p_3 et p_2 votent pour lui.
Comme il a tout intérêt à se retrouver dans cette configuration, il votera contre toute autre proposition qui lui assurerait moins.
Ainsi p_5, p_6 et p_7 n'auront pas la majorité et leurs propositions seront rejetées.
Pour obtenir la majorité, p_8 propose (15, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0) afin que p_7, p_6, p_5, p_3 et p_2 votent pour lui.
Comme il a tout intérêt à se retrouver dans cette configuration, il votera contre toute autre proposition qui lui assurerait moins.
Ainsi p_9, p_10 et p_11 n'auront pas la majorité et leurs propositions seront rejetées.
Il semblerait donc que cela soit p_8 qui tire son épingle du jeu avec 15 pièces.
