E5900 – Les pirates [*** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Onze pirates tiennent un conciliabule après avoir récupéré lors de leur dernière sortie en mer un butin de 20 pièces d'or. Ils décident d’abord de se numéroter de 1 à 11, par tirage au sort.
Le numéro 11 proposera une première répartition de partage qui sera soumise au vote des onze pirates. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates disent oui à la
proposition. Si elle est rejetée, le numéro 11 sera jeté à la mer et le numéro 10 proposera une nouvelle répartition de partage qui sera soumise au vote des dix pirates restants. Cette proposition sera acceptée uniquement si la majorité absolue des trois quarts des pirates restants approuvent la proposition. Si elle est rejetée, le numéro 10 sera jeté à la mer et le numéro 9 proposera une nouvelle répartition de partage selon le même principe que précédemment.
Etonnamment, chaque pirate est un excellent logicien qui acceptera toujours une répartition du butin si elle lui assure d’obtenir plus de pièces qu’il ne peut espérer en recevoir lors d’une autre répartition et il fera tout pour en avoir un maximum.
Combien de pièces va pouvoir être assuré de recevoir le pirate qui en recevra le plus ? Quel est le numéro de ce pirate ?
Nota : Définition de la majorité des trois quarts du nombre x de pirates :
- Si le résultat des trois quarts de x est un nombre entier a, alors la majorité absolue est a.
- Si le résultat des trois quarts de x est b qui n’est pas un nombre entier, alors la majorité absolue est le nombre entier immédiatement supérieur à b.
Solution proposée par Paul Lafourcade
Soit P1, P2… P11 les pirates numérotés.
En considérant le problème à l’« envers », on suppose que l’on est à la 10ième itération, en présence de P1 et P2 seuls.
La répartition proposée par P2 est de donner les vingt pièces à P1, car sinon, P1 va refuser le deal et empocher la totalité de la mise au coup suivant, après s’être débarrassé de P2.
Itération 10 : P1 P2 20 0
A l’itération précédente, avec P3, la solution est similaire, P3 est contraint de proposer la totalité des pièces à P1, car sinon, il ne peut pas obtenir les 3/4 (soit 3 suivant la définition donnée) des votes, P1 n’y ayant pas intérêt.
Itération 9 : P1 P2 P3 20 0 0
Itération 8 : P1 P2 P3 P4 P2 et P3 votent pour car sinon ils n’auront rien 0 1 1 18 à l’étape suivante 9.
Itération 7 : P1 P2 P3 P4 P5 seul P4 peut espérer mieux.
1 1 1 0 17
Itération 6 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 seul P5 peut espérer mieux.
1 1 1 1 0 16
Itération 5 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 seul P6 peut espérer mieux.
1 1 1 1 1 0 15
Itération 4 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 1 1 1 1 1 0 0 15
Seul P7 peut espérer mieux, vote de P6 pas nécessaire
Itération 3 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 1 1 1 1 1 1 0 0 14
Itération 2 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 1 1 1 1 1 1 1 0 0 13
Itération 1 : P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 12
Dés la première itération, tous les pirates qui obtiennent au moins une pièce ont intérêt à accepter le partage, car ils ne peuvent espérer mieux par la suite. C’est donc P11 qui rafle la mise avec 12 pièces en proposant 1 pièce pour P1 à P8 afin d’obtenir 9 votes favorables.
Conclusion : ils ne s’enrichirent pas tous, mais tous eurent la vie sauve !
