E510 – Les pirates
Solution
Aucun pirate n’a été jeté à la mer et le moussaillon a réussi à obtenir le vote favorable de 10 pirates y compris le sien. Voici le raisonnement qu’il a tenu :
« Raisonnons par récurrence :
- s’il y avait deux pirates P1et P2, le pirate P pourrait proposer que les 1000 pièces lui 2 soient attribuées. Une voix favorable sur deux lors du vote lui suffit pour emporter le butin.
- avec trois pirates P1,P2 et P3, le pirate P sait que si sa proposition est rejetée, il passe 3 par dessus bord et P1et P2 se retrouvent face à face avec P qui empoche tout. 2 P et 3
P sont donc des alliés objectifs. 1 P votera donc pour 1 P dès lors que ce dernier lui 3 alloue un nombre positif de pièces. Un schéma dans lequel P reçoit A pièces, 1 P 2 aucune et P 1000-A pièces (A> 0) recueille donc deux voix sur trois favorables. 3 - avec quatre pirates P1,P2,P3et P4, cette fois-ci l’allié objectif de P sera le pirate 4 P 2
car si P est jeté à la mer, 4 P sait fort bien d’après le scénario à 3 pirates qu’il n’aura 2 rien. D’où le schéma dans lequel P reçoit A pièces et 2 P 1000 – A pièces et qui 4 recueille 2 voix favorables sur quatre, ce qui est suffisant pour l’application de la proposition faite par P . 4
- avec cinq pirates, P1,P3et P5 ont des intérêts convergents et votent dans le même sens pour le schéma où P1et P3 reçoivent chacun A pièces et P reçoit le reste 1000 – 2A 5 pièces. »
D’où le tableau récapitulatif :
En toute logique le moussaillon a poursuivi la récurrence jusqu’au rang 20 et a obtenu le tableau suivant :
Pirates classés Nombre Pirates classés Nombre Pirates classés Nombre Pirates classés Nombre selon leur rang de pièces d'or selon leur rang de pièces d'or selon leur rang de pièces d'or selon leur rang de pièces d'or
1 1 A 1 1 A
2 1000 2 2 A 2
Total 1000 3 1000-A 3 3 A
Total 1000 4 1000-A 4
Total 1000 5 1000-2A
Total 1000
A pièces d’or sont respectivement attribuées aux neuf pirates de rang pair 2,4,6,…,18. Leurs votes positifs lui sont acquis car ils savent tous que si le moussaillon est jeté aux requins, tous les pirates de rang impair se partageront le butin. Le moussaillon garde pour lui 1000-9A pièces d’or et lors du vote dix voix sur vingt sont favorables à ce schéma et permettent sa mise à exécution.
A ce stade, le problème est partiellement résolu car la valeur de A n’a pas été fixée et bien entendu, les votes ne peuvent pas avoir lieu si cette valeur reste inconnue. Du point de vue la logique pure, A peut prendre la valeur1 car tous les pirates autres que le moussaillon ont la perspective d’avoir à choisir entre 0 et 1 et mieux vaut un que zéro tout court. Toutefois, si le moussaillon propose une pièce à chacun des pirates de rang pair, il fait apparaître qu’il en garde 991. Or ces neuf pirates si rationnels et intelligents soient-ils ne pourront pas
s’empêcher d’avoir un sentiment très fort de jalousie et de frustration et ils peuvent par dépit voter contre la proposition du moussaillon. L’intérêt du moussaillon est donc de proposer un schéma où la distorsion entre sa part et celles des neuf autres est plus faible. S’il est altruiste et veut avoir la certitude de recueillir l’adhésion des neuf pirates, il fixera A = 200 pièces. S’il est égoïste comme le sont la grande majorité des humains, il choisira une valeur de A
comprise entre 100 et 150 telle que le coefficient de distorsion soit compris dans une fourchette acceptable de 4 à 11.
Nota : tous les raisonnements tenus par le moussaillon ne tiennent évidemment que s’il n’y a aucune coalition entre les pirates. Supposons que le chef des pirates P et son adjoint 1 P se 2 soient secrètement mis d’accord avant la réunion générale pour se partager à deux le trésor des 1000 pièces, 600 pour l’un et 400 pour l’autre. Cette répartition est dans tous les cas de figure nettement plus favorable pour eux que celles qui résultent des savants calculs du moussaillon. Ils ont donc intérêt à voter tous deux systématiquement contre les résolutions faites successivement par les pirates P20,P19,P18,....,Pi,....P3 et on vérifie que dans tous les cas les propositions de ces pirates seront rejetées. Les dix-huit pirates iront à la mer et ils auront tout loisir d’appliquer leur accord secret quand ils se retrouveront tous les deux seuls.
Pirates classés Nombre selon leur rang de pièces d'or
1
2 A
3
4 A
5
6 A
7
8 A
9
10 A
11
12 A
13
14 A
15
16 A
17
18 A
19
20 1000-9A
Total 1000
