L3 - Math´ ematiques pour l’Enseignement - G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire. 2013-2014 Corrig´ e du CC2
Exercice 1 (Enveloppe convexe d’une base affine) 1
(i) L’enveloppe convexe de (P i ) 0≤i≤3 est la plus petite partie convexe P de R 4 telle que ∀i, P i ∈ P.
P est ici not´ ee [P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ]. C’est l’ensemble des barycentres de (P i ) 0≤i≤3 ` a coefficients positifs:
P 0 P 1 P 2 P 4
a 0 a 1 a 3 a 4
, ∀i, a i ≥ 0 et X
0≤i≤3
a i > 0.
(ii)
S =
P 0 P 1 P 2 P 3
1 1 1 1
= P 0 + 1 4
−−−→ P 0 P 1 + 1 4
−−−→ P 0 P 2 + 1 4
−−−→ P 0 P 3
S est donc le point de coordonn´ ees ( 1 4 , 1 4 , 1 4 ).
S 1 =
P 0 P 2 P 3
1 1 1
= P 0 + 1 3
−−−→ P 0 P 2 + 1 3
−−−→ P 0 P 3 .
S 1 est le point de coordonn´ ees (0, 1 3 , 1 3 ). De mˆ eme, S 2 : ( 1 3 , 0, 1 3 ) et S 3 : ( 1 3 , 1 3 , 0). Enfin S 0 =
P 1 P 2 P 3
1 1 1
= P 0 + 1 3
−−−→ P 0 P 1 + 1 3
−−−→ P 0 P 2 + 1 3
−−−→ P 0 P 3
i.e. S 0 : ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ).
2
Il s’agit du t´ etra` edre standard plein T . Le barycentre partiel S j est l’isobarycentre des sommets de la j−` eme face. Par associativit´ e, il est situ´ e ` a l’intersection des m´ edianes.
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(i) Par associativit´ e, on a
S =
P 0 P 1 P 2 P 3
1 1 1 1
=
P 0 P 1 P 2
1 1 1
P 3
3 1
!
=
S 3 P 3
3 1
∈ (S 3 P 3 ).
Idem pour les 3 autres droites (S j P j ), j = 0, 1, 2.
(ii) Reste ` a voir que les droites (S j P j ), 0 ≤ j ≤ 3, sont distinctes.
Supposons qu’il existe i 6= j tels que
(P j S j ) = (P i S i ).
1
Comme
S ∈ \
0≤i≤3
(P i S i ),
ceci ´ equivaut ` a (SP j ) = (SP i ), i.e. au fait que P i , P j , S sont align´ es. Mais alors S ∈ [P i , P j ], ce qui ne se peut.
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(i) Tout point P s’´ ecrit P = P 0 + P
1≤i≤3 x i
−−→ P 0 P i
- pour j 6= 0, P 0 ∈ H j et P ∈ H j ssi x j = 0.
- P ∈ H 0 ssi il existe b, c ∈ R tels que P = P 1 + b −−−→
P 1 P 2 + c −−−→
P 1 P 3
= P 0 + −−−→
P 0 P 1 + b( −−−→
P 1 P 0 + −−−→
P 0 P 2 ) + c( −−−→
P 1 P 0 + −−−→
P 0 P 3 )
= P 0 + (1 − b − c) −−−→
P 0 P 1 + b −−−→
P 0 P 2 + c −−−→
P 0 P 3 . D` es lors P ∈ H 0 ssi x 1 + x 2 + x 3 = 1.
Conclusion: h 0 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 − (x 1 + x 2 + x 3 ) et pour j 6= 0, h j (x 1 , x 2 , x 3 ) = x j .
(ii) R ≥0 = [0, ∞[ est un convexe de R et l’image r´ eciproque de tout convexe par une forme affine h : R 3 → R est un convexe de R 3 . En particulier, ∀j, h −1 j (R ≥0 ) est convexe. C’est l’un des deux demi-espaces ferm´ es de bord H j .
(iii) Tout point P ∈ [P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ] s’´ ecrit
P = P 0 + 1
a 0 + a 1 + a 2 + a 3
( X
1≤i≤3
a i
−−→ P 0 P i ), a j ≥ 0, a 0 + a 1 + a 2 + a 3 > 0.
Les coordonn´ ees x j = a aj
0