Solution proposée pat Gaston Parrour Les 6 produits deux à deux sont les suivants ab a(b+p) b(b+p) a(a+p) b(a+p) (a+p)(b+p)

A427. Une ribambelle de carrés

Soit un entier p ≥ 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiers a,b,a + p et b + p pris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés parfaits. Démontrer que :

Q1 : m(p) > 1 quel que soit p.

Q2 : m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.

Q3 : si m(p) > 3 alors m(p) = 6.

Q4 : il existe une infinité de valeurs de p telles que m(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a,b) tel que m(p) = 6.

Solution proposée pat Gaston Parrour

Les 6 produits deux à deux sont les suivants

ab a(b+p) b(b+p) a(a+p) b(a+p) (a+p)(b+p) Q1 - m(p) > 1 quel que soit p.

Il suffit ici de montrer qu'étant donné p quelconque, on est certain de trouver a et b tels que m(p) > 1 Cas de p impair et p > 1

Si a est un carré a = n², en lui ajoutant p = 2n+1 avec n > 0 , on obtient a + p = (n+1)²

Ainsi, étant donné un tel p impair > 1, p = 2n+1, il suffit de choisir a = n² auquel on adjoint un b = m² quelconque, pour obtenir (a+p) = (n+1)² et ainsi

ab = (nm)² a(a+p) = [n(n+1)]² b(a+p) = [m(n+1)]² donc pour p> 1 ==> m(p impair) > 1 Cas de p pair

On doit distinguer :

1) p de type pair-impair p = 2^t(2n+1) n > 0 et t > 0

alors avec ce qui précède : le choix a = 2^tn² et b = 2^tm², conduit à : ab = (2^tnm)² a(a+p) = [2^tn(n+1)]² b(a+p) = [2^tm(n+1)]2

==> m(p=2^t(2n+1)) >1 2) p est une puissance de 2 p = 2^t

→ Cela nous amène au cas n = 0 . Ce cas, non encore examiné, correspond pour les impairs à p = 1.

Cas p=1 (n=0)

→ ab peut être un carré de deux façons :

a est carré et b est carré (a et b premiers entre eux (a,b)=1) cas1 a = c.n² et b = c.m² ou c est un produit de nombre premiers sans exposant pair cas2 Si a = n² alors a+p = n²+1 ne peut être un carré (la « distance » entre deux carrés est au moins égale à 3) ; cela s'applique aussi bien à b+p puisqu'alors b est un carré.

Si a = c.n² alors a+p = c.n²+1 ne peut être de la forme c.n'² ; cela s'applique aussi bien a b+1 puisqu'alors b=c.m² → Donc la seule question est :

si ab est un carré, existe-t-il des entiers a et b tels que (a+1)(b+1) soit un carré ?

cas1 partant de a = 1 = 1², on peut balayer les carrés successifs pour b : on trouve ainsi que le premier candidat est b = 49 Ainsi ab = 49 = 7² et (a+1)(b+1) = 2.50 = 100 = 10²

cas2 par exemple partant de a = 3= 3.1², un premier candidat b = 3.m² est b = 3.4² Ainsi ab = 9.16 = 144 = (12)² et (a+1)(b+1) = (3+1)(48+1) = 196 = (14)²

→ De toute façon cela montre que pour p=1, des entiers a et b existent de façon à ce que ==> m(1) > 1 Puisque le cas où p = 2^t se ramène de ce point de vue au cas n = 0 pour les impairs, on a bien aussi

m( p=2^t) > 1 Conclusion ==> m(p) > 1 quel que soit p> 0 Q2 - m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.

La fin de la question Q1 montre que m(1) > 1 → On a vu en effet :

si a=n² et b = m² (cas où PGCD (a,b) = 1), il est clair que (a+1) n'est pas un carré et (b+1) non plus, cependant (a+1)(b+1) peut être un carré (voir cas 1 ci-dessus)

si a = c.n² et b = c.m² , (a+1) et (b+1) ne sont pas de la forme cn'2 et cm'2, par contre ils peuvent être séparément carrés ; auquel cas

(a+1)(b+1) est un carré (voir cas 2 ci-dessus)

==> quoi qu'il en soit, avec p = 1, on a au plus 2 carrés parmi les 6 produits ; ce sont :

ab et (a+1)(b+1) donc ==> m(1) = 2 A la fin de la question Q1 on a aussi obtenu m(2 ) > 1^t

on peut reprendre ce qui est dit ci-dessus :

→ Avec a = n² pour quelles valeurs de p = 2^t peut-on obtenir « a+p est un carré parfait » ? Pour répondre à cela, on peut songer à résoudre

n² + 2^t = z²

→ Cette équation de Diophante n'a clairement pas de solution entière pour t=1,2,3 Cela concerne a priori 3 valeurs de p : p =2, 4, 8.

Cependant on peut remarquer que dans le cas p = 8 , on a la relation 1²+8 = 3²

Ainsi, avec p = 8 et a = 1² on obtient au moins trois carrés parfaits avec b = m² quelconque : ab = m² a(a+p) = (1+8) et b(a+p) = m²(1+8) ==> m(8) > 2

==> ici, seulement pour p = 2, 4 pas de troisième carré parfait ==> m(2)=m(4)=2 → Avec t = 4 n² + 4² = z² a pour solution, la solution de base n = 3 et z = 5 ; et donc a=9 Avec p = 2⁴ , a = 9 et b quelconque b=m² (m différent de 3 pour avoir a différent de b) , on obtient au moins 3 carrés parmi les six produits, ce sont :

ab a(a+p) b(a+p) donc m(2⁴) > 2

→ Pour t > 4 on peut poser p = 2^t-4 .2⁴ et définir alors a = 2^t-4 .a' et b = 2^t-4 .m² (m² différent de a') La recherche de solution à « a(a + p) carré parfait », est alors ramené à l'équation précédente si on pose a' = n² : a(a+p) = (2^t-4)²n²(n²+2⁴) et cela est un carré parfait avec n = 3 et n²+2⁴ = 5²

→ Ainsi d'une façon générale, pour tout t > 3, p = 2^t [avec a = 2^t-4 . 3² et b = 2^t-4 .m² (m différent de 3) ] conduit à : 3 produits au moins parmi les six sont des carrés parfaits :

ab a(a+p) b(a+p) donc m(2^t) > 2 (pour t >3) ==> En conclusion : seulement pour p = 1, 2, 4, on a m(p) = 2

Q3 - si m(p) > 3 alors m(p) = 6.

Ce qui précède montre que

lorsque m(p) = 2, cela revient à exclure parmi les six produits possibles a(a+p) b(a+p) et les symétriques a(b+p) b(b+p)

Cela laisse alors effectivement (au maximum) ab et (a+1)(b+1) comme carrés parfaits lorsque m(p) =3 cela est du à ab et par exemple à a(a+p) et b(a+p)

Si m(p) > 3 cela signifie qu'on fait appel en plus à un quatrième carré, par exemple a(b+p)

Mais dans un tel cas d'ailleurs, par symétrie [comme avec le facteur (a+p)], alors aussi b(b+p) sera carré parfait.

→ Alors avec ab a(a+p) b(a+p) a(b+p) b(b+p) carrés parfaits, et sachant que a différent de b, il y a 2 possibilités pour le le PGCD de a et b est noté (a,b) :

1- (a,b) = 1

alors ab carré ==> a carré et b carré et donc a(a+p) carré ==> (a+p) carré

a(b+p) carré ==> (b+p) carré et finalement on a

(a+p)(b+p) est un carré parfait

2 - (a,b) > 1 alors, puisque ab est un carré : a = c.n² et b = c.m²

et donc puisque a(a+p) est un carré ==> (a+p) = c.n'² et a(b+p) est un carré ==> (b+p) = c.m'² et finalement

(a+p)(b+p) = c²n'²m'² est un carré parfait

==> En conclusion : Les six produits sont carrés parfaits si m(p) > 3

N.B. Variante possible :

Avec m(p) > 3 , on peut aussi partir de ceci :

ab a(a+p) b(a+p) sont carrés parfaits , et le quatrième carré parfait est (a+p)(b+p) .

Le raisonnement précédent, avec les deux possibilités pour la décomposition de ab, se reconduit à l'identique.

On distingue les deux cas : a et b premiers entre eux ou non ; soit donc a = n² ou a = c.n² ...

En conservant les notations ci-dessus :

soit (a+p) est un carré parfait (lié à a=n²) , soit (a+p) = c.n'² (lié à a=c.n²) donc « en correspondance » (b+p) est un carré parfait ou (b+p) = c.m'2

Et finalement :

a(b+p) et b(b+p) sont des carrés parfaits.

Q4 : il existe une infinité de valeurs de p telles que m(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a,b) tel que m(p) = 6.

Avec les questions précédentes, on a vu que m(p) = 2 lorsque on a au plus à la fois ab carré parfait ET (a+p)(b+p) carré parfait → En se plaçant dans la cas a = n² et b = m², si on réalise séparément (HYP1) a+p = z² carré parfait

et b+p = z'² carré parfait , les 4 autres produits sont alors des carrés parfaits ; soit m(p) = 6

→ On doit donc, pour le même p, résoudre le SYSTEME suivant

n² + p = z² (1) m² + p = z'² (2) Donc p doit vérifier séparément p = z2 – n2

p = z'2 – n2

→ p s'exprime par la différence de deux carrés au moins de deux manières différentes.

Puisqu'il s'agit de déterminer le plus petit p, cherchons le premier p qui répond à l'exigence En fait

si p = r.s r> s alors avec z+n = r et z – n = s z = (r+s)/2 et n = (r-s)/2 Puisqu'on a affaire à des entiers, il faut que (r+s) soit pair ; (r-s) le sera alors.

→ p est donc le premier entier qui peut s'écrire comme deux produits p = r.s et p = r'.s' et où r,s,r',s' vérifient cela

→ On observe que le premier candidat entier est p = 15 : p =15 = 15.1 = 3.5 ,

les entiers qui précèdent, ou bien sont des nombres premiers, ou bien ne vérifient pas (r+s) et (r'+s') pairs.

Ainsi z = (16)/2 = 8 n = (14)/2 = 7 et 15 = 64 – 49 z' = 8/2 = 4 m = 2/2 = 1 et 15 = 16 – 1

==> Avec p = 15, on obtient ainsi a = n² = 49

b = m² = 1

Donc ab = (n.m)² = 7²

a(a+p) = az² = 49.64 = (7.8)² b(a+p) = z² = 8²

a(b+p) = n².z'² = (7.4)² b(b+p) = z'² = 4²

(a+p)(b+p) = (z.z')² = (8.4)²

→ Il y a bien sûr une infinité d'autres entiers p ( p > 15) qui satisfont les critères de sélection et sont donc solution du SYSTEME

Remarques finales :

1 - Retour sur (HYP1) faite au début de cette question Q4 :

En se plaçant dans le cas PGCD (a,b) > 1 soit a = c.n² et b = c.m² ,

Pour avoir « a(a+p) est un carré », il faut alors pouvoir mettre c en facteur dans (a+p) ; donc p = c.p' → La démarche avec p' est ensuite la même qu'avec p ci-dessus :

Déterminer p' de façon à ce que n²+p' = z² et m²+ p' = z'² avec m et n non égaux

Autrement dit : le premier p' obtenu ici sera également 15 et donc p correspondant sera c.15 avec c > 1 ==> La première valeur de p ainsi déterminée sera plus grande que p = 15 déterminée avec (HYP1)

2 - Pour résoudre le système ci-dessus, on pourrait poser p = q², ces deux équations de Diophante s'écrivent

n² + q² = z² (1) m² + q² = z'² (2)

Puisque l'approche précédente assure qu'on a affaire au plus petit p possible, il est clair que cette démarche-ci ne satisfait pas le critère « p le plus petit possible ».

N.B. En fait on peut vérifier que la première valeur acceptable par cette approche est p = (12)² = 144

==> En conclusion :

Il y a une infinité de valeurs de p [chacune liée à au moins un couple d'entiers (a,b)] , et pour lesquelles m(p) = 6 La valeur la plus faible de p est p = 15 à laquelle s'associent a = (7)² et b = (1)² ; ainsi m(15) = 6

Les valeurs correspondantes des six produits sont données en rouge ci-dessus.