Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire

A634. Le légendaire Barbe-Noire

Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus. Barbe-Noire naturellement le mieux loti décide de se montrer généreux et donne à ses compagnons autant d’écus qu’ils en ont chacun puis son second devenu le mieux loti fait de même par mimétisme en donnant aux autres pirates y compris à Barbe-Noire autant d’écus qu’ils en ont chacun. Tous les autres pirates opèrent l’un après l’autre de la même manière, une fois et une seule, le mieux loti à l’issue de chaque redistribution donnant aux autres pirates autant d’écus qu’ils en ont chacun.

Ces distributions étant faites, chacun a le même nombre d’écus.

Avant le premier partage de Barbe-Noire,l’un des pirates a 1905 écus de plus que son voisin.

Déterminer le nombre de pirates et le nombre d’écus détenus initialement par Barbe-Noire.

Solution proposée par Maxime CUENOT

Notons n le nombre de pirates, supérieur ou égal à 2 compte tenu de la dernière indication de l’énoncé, xk le nombre d’écus détenus par le k-ième pirate le plus riche avant le début des opérations de générosité et x la part identique que tous récupèrent à la fin. Le butin complet, le nombre total d’écus, vaut donc B = n*x inférieur ou égal à 500 000.

1. Détermination de la part initiale de chaque pirate

On observe que l’ordre dans lequel les pirates redistribuent, chacun leur tour, une partie de leur part aux autres suit l’ordre de richesse initial : en effet, après chaque redistribution, la part de chacun des pirates devant encore redistribuer une partie de leur part est égale à leur dotation initiale doublée un certain nombre, identique pour tous, de fois.

Observons le k-ième pirate juste avant qu’il ne joue aux Robins des Bois :

• bénéficiaire des k-1 opérations de redistributions précédentes, sa part personnelle est égale à 2^k-1 * xk

• Il s’apprête à doubler la part de tous ses camarades, c’est-à-dire à dépenser autant que la somme des parts actuellement détenues par les autres, soit n*x – 2^k-1 * xk

• Après sa redistribution, ce qui lui restera sera doublé encore n-k fois pour atteindre la valeur x.

On obtient donc l’équation suivante : 2^k-1xk – (nx – 2^k-1xk) = x / 2^n-k soit : 2^kxk – nx = x / 2^n-k

2ⁿxk – 2^n-knx = x xk = (2^n-kn+1)/2ⁿ * x

soit encore xk = (2^n-kn+1)/(2ⁿ * n) * B

2. Exploitation de l’indice sur la différence de deux parts initiales

xk étant un nombre entier de pièces (hypothèse hasardeuse?), 2ⁿ * n divise (2^n-k * n + 1).B or manifestement (2^n-k * n+1) est premier avec 2 et avec n, ainsi 2ⁿ * n divise B.

L’information selon laquelle deux pirates avaient initialement 1905 écus se traduit ainsi : il existe j et k (j<k compte tenu du classement des pirates par ordre de richesse) tels que xj-xk=1905 soit

(2^n-jn+1)/(2ⁿ * n) * B – (2^n-kn+1)/(2ⁿ * n) * B = 1905 (2^n-jn+1)*B – (2^n-kn+1)*B = 2ⁿ * n * 1905

2^-j * B – 2^-k * B = 1905 (*) (2^k-j – 1) * B = 2^k * 1905

Comme on a observé que 2ⁿ divise B, 2ⁿ divise 2^k * 1905 donc k=n.

Comme 1905 se décompose en facteurs premiers en 3*5*127, 2^k-j – 1 vaut soit 1, soit 3 soit 127, c’est-à-dire k-j = 1, 2 ou 7.

2.1 Hypothèse k-j=7

En reprenant l’équation (*) on arrive à 127 * B = 2ⁿ * 1905

B = 15 * 2ⁿ

k-j = 7 implique n>7, et d’autre part 2ⁿ * n divisant B, on doit avoir n | 15. La seule valeur possible est alors n=15 et B = 15*2¹⁵ = 491 520.

Il y a dans ce cas 15 pirates et Barbe-Noire possède initialement 15*2¹⁴+1 = 245 761 écus.

2.2 Hypothèse k-j=2

En reprenant l’équation (*) on arrive à 3 * B = 2ⁿ * 1905

B = 635 * 2ⁿ

2ⁿ * n divisant B, on doit avoir n | 635, n vaut donc 1, 5, 127 ou 635 ; or k-j = 2 implique n>2 et B<500 000 implique n<10. La seule valeur possible est alors n=5 et B = 635*2⁵ = 20 320.

Il y a dans ce cas 5 pirates et Barbe-Noire possède initialement (5*2⁴+1)*127 = 10 287 écus.

2.3 Hypothèse k-j=1

En reprenant l’équation (*) on arrive à B = 2ⁿ * 1905

2ⁿ * n divisant B, on doit avoir n | 1905, n vaut donc 1, 3, 5, 15, 127, 381, 635 ou 1905 ; or k-j = 1 implique n>1 et B<500 000 implique n<9. Deux valeurs de n restent possibles : n = 3 ou 5, et donc B = (resp.) 15 240 ou 60 960.

Dans le premier sous-cas, il y a 3 pirates et Barbe-Noire possède initialement 13/24 * 15 240 = 9 525 écus.

Dans le second, il y a 5 pirates et Barbe-Noire possède initialement 81/160 * 60 960 = 30 861 écus.

Mais un butin de 15, 20 ou même 61 kilo-écus, c’est bien maigre … retenons plutôt le tout premier cas, pour le bien-être financier des pirates !