A554. Tracé par sa racine septième
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième. Justifiez votre réponse
Solution proposée par Gaston Parrour
Un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, … s'il est le PPCM de ces nombres, ou un multiple de ce PPCM . Par exemple le plus petit nombre N1 divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (en s'arrêtant juste avant le nombre premier 13) est leur PPCM
N1 = 23.32.5.7.11 = 27720 La racine septième de N1 est
(N1)1/7 = 4, 31...
On observe ici :
→ La suite continue des diviseurs entiers de N1 ( 1,2, …, 12) dépasse ici sa racine septième.
Cela autorise à rechercher un nombre plus grand que N1 et dont la racine septième inclura au moins cette suite continue.
→ D'autre part, on remarque :
en allongeant la suite continue des diviseurs, on « rencontre » de nouveaux nombres premiers qui doivent alors être introduits comme multiplicateurs de N1 ; on rencontre aussi des puissances supérieures de nombres premiers déjà utilisés.
Mais alors la racine septième initiale (ici celle de N1) est elle-même multipliée par les racines septième de ces nombres premiers introduits
→ Ainsi à partir de N1 ci-dessus, si on introduit le nombre premier 13, la suite des diviseurs est prolongée jusqu'à 15. Pour la prolonger jusqu'à 18 compris, il faut que 23 soit remplacé par 24 et que 17 soit introduit . Donc avec N2 = 13.2.17. N1 :
La suite continue des diviseurs de N2 est celle de N1 complétée par 13, 14, 15, 16, 17, 18 La racine septième de N2 est
(N2)1/7 = 10,29 …
Ici encore on observe que la suite continue des diviseurs dépasse la racine septième En poursuivant l'opération :
→ Pour N3 = 19.N2 qui prend en compte le nombre premier 19,
la suite continue des diviseurs de N3 est celle de N2 complétée par 19, 20, 21, 22 La racine septième de N3 est
(N3)1/7 = (N2)1/7 x (19)1/7 = 15,67 …
→ A partir de cela, l'introduction du diviseur premier 23 prolonge la suite continue des diviseurs jusqu'à 24 pour le nombre N4 = 23.N3
N4 a pour racine septième
(N4)1/7 = (N3)1/7 x (23)1/7 = 24,53 …
==> La suite continue des diviseurs de N4 s'arrête à 24 (52 ne divise pas N4) et d'autre part la racine septième de N4 a pour partie entière 24
==> N4 = N1.13.2.17.19.23 répond donc à la demande de l'énoncé.
N4 = 24.32.5.7.11.13.17.19.23 = 5 354 228 880 N4 ci-dessus est-il le plus grand nombre possible ?
→ Pour prolonger la suite continue des diviseurs ci-dessus, il faut qu'un nombre N5 contienne 52 autrement dit, compte tenu des facteurs premiers déjà en jeu, il faut considérer :
N5 = 5.N4
Mais alors, (N5)1/7 = (N4)1/7 x (5)1/7 = 30,85 …
→ demander que 25 figure dans la suite des diviseurs, implique en particulier que 27 et 29 y figurent aussi Cela entraîne :
pour que 27 soit diviseur, un facteur 3 supplémentaire doit être introduit pour que 29 figure dans la suite, le nombre premier 29 doit être introduit → A partir de N5 il faut donc définir
N6 = 3.29.N5
Mais dans ce cas (N6)1/7 = (N5)1/7 x (3.29)1/7 = 58,38 …
==> On constate une « fuite en avant » : depuis N4, l'ajout de nouveaux diviseurs fait passer de Nk à Nk+1 Mais alors à chaque étape, la limite (Nk+1)1/7 exigée pour la suite continue des diviseurs, introduit de nouveaux termes dans cette suite. Certains sont des nombres premiers nouveaux (ou des nombres premiers qui existent dans Nk mais à des puissances moindres) et à leur tour ils demandent un passage de Nk+1 à Nk+2, etc …
==> En fait à partir de ce constat, il suffit de montrer qu'à chaque passage de Nk à Nk+1 (nécessaire pour prendre en compte un ou plusieurs diviseurs nouveaux inférieurs à (Nk)1/7 ):
→ Il y a au moins un nombre premier p nouveau ; ce qui rend la « fuite en avant » inévitable.
Par exemple : en poursuivant ==> (N6)1/7 = 58,38 … , conduit à considérer la suite continue d'entiers 2,3,4,5,6,...,27,28,29,30,31,...,37,...,41,42,43,...,47,53,54,55,56,57,58 ;
(en rouge figurent les nombres premiers nouveaux qui ne figurent pas dans N6) → En prenant en compte les deux premiers nouveaux 31 et 37 ,
cela conduit à N7 = 31.37.N6 ; pour lequel (N7)1/7 = (N6)1/7 x (31.37)1/7 = 58,38 … x 2,73 ... > 128
==> on observe ici que (N7)1/7 est au moins égal 2 x (N6)1/7 et que (N7)1/7 > 128 = 27
→ Alors, avec N8 = 41.43.N7 construit à partir de N7 pour inclure les nouveaux nombres premiers 41 et 43:
==> Le théorème de Bertrand, permet d' affirmer qu'entre (N7)1/7 et (N8)1/7 , séparés par un facteur 2 (au moins!), il existe un nouveau nombre premier p ; et ce nombre p est donc plus grand que 128 = 27
→ Ce nouveau nombre p exige alors de passer de N8 à N9, défini par N9 = p.N8
En évoquant toujours le théorème de Bertrand, la racine septième de ce nouveau nombre p (au moins égale à 2 !) conduit à l'existence d'un nouveau nombre premier p' (p' > 128) , entre (N8)1/7 et (N9)1/7, etc …
En conclusion :
==> Pour tout N > N4 = 5 354 228 880 , il est impossible de réaliser une suite continue de diviseurs entiers bornée par la racine septième de N
