A367. Les entiers font de la résistance
Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N,k) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive.
Par exemple 12 est résistant car 12 − 12 −22 = 7 > 0. A l'inverse 256 ne l'est pas car 256 − 23 − 53 − 63 = − 93 < 0 Q1 Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.
Q2 Démontrer qu'il existe un entier N₀ tel que tous les entiers ≥ N₀ sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer le plus petite valeur possible de N₀.
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.
Un nombre N de k chiffres est noté
N = ak-1 10k-1 + ak-2 10k-2 + … + a1 101 + a0 100 La différence définie par l'énoncé est
d(N,k) = ak-1 (10k-1 – ak-1k-1) + ak-2 (10k-2 – ak-2 k-1) + … + a1(101 – a1k-1) + a0(100 – a0k-1) (1) k=1
L'expression (1) ci-dessus montre que
→ quel que soit le nombre à un chiffre a0, d(N,1) = 0 ==> cela est réalisé pour N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
k > 1
On est conduit à déterminer le maximum de l'expression (1) dans laquelle apparaissent k variables Méthode utilisée :
On considère tout d'abord d(N,k) comme une fonction de k variables réelles, les ''ai'' i =1, k-1
Dans ce cas l'extrémum de d(N,k) est obtenu par la résolution du système de k équations aux dérivées partielles D(d(N,k))/D(a0) = 0 D(d(N,k))/D(a1) = 0 … D(d(N,k))/D(ai) = 0 … D(d(N,k))/D(ak-1) = 0
Ces équations sont indépendantes et de la forme 10i – kaik-1 = 0 dont la solution réelle est ai* = 10i/(k-1) / k1/(k-1)
ai* est encadrée par deux valeurs entières Ai et Ai + 1 Avec cela :
en commençant avec l'équation ci-dessus relative à a0, sa solution réelle a0* définit deux nombres entiers A0 et A0 + 1
on calcule alors d(N,k) pour A0 et A0 + 1
ces expressions ont en commun tous les termes de d(N,k) qui ne contiennent pas a0 elles ne diffèrent entre elles que par la contribution de A0 ou de (A0 + 1)
On retient celle qui a la plus grande contribution soit d1(N,k), et l'entier A0 ou A0 + 1 qui lui est lié.
Avec la fonction d1(N,k) qui est la fonction d(N,k) privée de son terme en a0 (remplacé par un nombre) , on forme D(d1(N,k))/D(a1) [qui est identique à D(d(N,k))/D(a1)]
l'égalité à 0 fournit la solution réelle a1* encadrée par deux entiers A1 et A1 + 1 on exprime d1(N,k) pour A1 et pour A1 + 1 .
on retient celle qui a la plus grande contribution - notée d2(N,k) - , due à A1 ou à A1 + 1 et l'entier A1 ou A1+1 qui lui correspond
On poursuit ainsi jusqu'au dernier chiffre ak-1
→ Le nombre N lié au maximum de d(N,k), sera formé des divers chiffres entiers ''A'' retenus au cours de cette itération
→ A titre d'exemple développons le cas k = 3
d(N,3) = a2 102 + a1 10 + a0 - a23 – a13 – a03
dérivée partielle de d(N,3) par rapport à a0 nulle → 1 – 3a02 = 0 a0* = 1/√3 a0* est encadré par les entier A0 = 0 et A0 + 1 =1
Avec ces deux entiers les deux expressions de d(N,3) sont identiques → les deux chiffres 0 et 1 sont à retenir également pour a0 L'expression d1(N,k) qui en résulte est
d1(N,k) = a2 102 + a1 10 – a23 – a13
Dérivée partielle de d1(N,k) par rapport à a1 (identique à dérivée de d(N,k) par rapport à a1) nulle conduit à a1* = √10/3 = 1,8... encadré par A1 = 1 et A1 + 1 = 2
La plus grande contribution positive dans d1(N,k) est obtenue avec l'entier 2 → le chiffre a1 = 2 est à retenir
L'expression d2(N,k) qui en résulte est d2(N,k) = a2 102 - a23 + 12 La dérivée par rapport a2 nulle conduit à
a2* = 10/√3 = 5,7... encadré par les entiers A2 = 5 et A2 + 1 = 6 La plus grande contribution dans d2(N,k) est avec l'entier 6
→ le chiffre a2 = 6 est à retenir En conclusion
==> l'expression d(N,3) est maximum pour N = {620 , 621}
→ Ce qui précède a été utilisé à l'identique pour traiter les cas k = {2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Compte tenu que le chiffre des unités, égal à 0 ou à 1, conduit à la même valeur du maximum de d(N,k), on a toujours affaire pour chaque valeurs de k, à un ensemble de deux nombres N associés au maximum de d(N,k)
Les résultats sont les suivants pour les paires de nombres N donnant le maximum pour d(N,k) ( 1 < k ≤ 10 ) k = 2 N = 50 , 51
k = 3 N = 620 , 621 k = 4 N = 6 310 , 6 311 k = 5 N = 74 210 , 74 211 k = 6 N = 743 210 , 743 211 k = 7 N = 7 532 110 , 7 532 111 k = 8 N = 75 432 110 , 75 432 111 k = 9 N = 864 322 110 , 864 322 111 k = 10 N = 8 654 321 110 , 8 654 321 111
Q2 Démontrer qu'il existe un entier N₀ tel que tous les entiers ≥ N₀ sont résistants.
Déterminer le plus petite valeur possible de N₀.
L'expression de d(N,k) donnée en (1) ci-dessus
d(N,k) = ak-1 (10k-1 – ak-1k-1) + ak-2(10k-2 – ak-2k-1) + … + a1(101 – a1k-1) + a0(100 – a0k-1) (1)
montre que le premier terme est toujours positif, quel que soit k le nombre de chiffres de N
Valeurs de k pour lesquelles les termes suivants le premier terme de d(N,k) sont non négatifs Pour que cela soit vrai pour tout chiffre aj relié au terme concerné, on doit choisir aj = 9 le second terme est non négatif pour tout ak-2 si
10k-2 ≥ 9k-1 soit avec r = log10 (3) k ≥ 2(1-r) / (1-2r) = 22,85...
→ Pour tout entier k tel que k ≥ k1 = 23 , les deux premiers termes au moins de d(N,k) sont non négatifs En poursuivant de la même façon,
le troisième terme est non négatif pour tout ak-3 si k ≥ (3-2r) / (1-2r) = 44.71 …
→ Pour tout entier k tel que k ≥ k2 = 45 , les trois premiers termes au moins de d(N,k) sont non négatifs le quatrième terme est non négatif pour tout ak-4 si
k ≥ 2(2-r) / (1-2r) = 66.56 …
→ Pour tout entier k tel que k ≥ k3 = 67 , les quatre premiers termes au moins de d(N,k) sont non négatifs etc ...
Ce qui précède montre d'une façon générale que l'on a p termes non négatifs au moins pour tout k vérifiant (k-p) ≥ 2(k-1)r (r = log10 (3) ) (2)
Précisons les (k-p) termes négatifs de d(N,k)
Chacun de ces termes a une valeur absolue maximum lorsque le chiffre aj qui le définit est égal à 9 → la somme de ces termes négatifs est maximum en valeur absolue lorsque tous les chiffres impliqués sont égaux a 9
La somme de ces termes négatifs dans cette condition est notée S9 dans la suite. Son calcul donne S9 = (10k-p – 1) – (k-p)x9k (3) Montrons :
Il existe un N0 tel que pour tout N ≥ N0 l'expression d(N,k) est positive
La configuration la plus défavorable pour un nombre N de k chiffres pour lequel l'expression d(N,k) a ses p premiers termes non négatifs et les (k-p) suivants négatifs est pour
Nc = 1 00 ..0 999 ...9 où les ''9'' sont au nombre de (k-p)
N.B. Tout nombre du type de Nc est appelé nombre crucial dans ce qui suit
Considérons dans d(Nc,k) relative à Nc, le rapport R en valeur absolue de la somme S9 des termes négatifs à celle des nombres positifs
Ici R = | S9 | / (10k-1 – 1 ) Lorsque k devient grand
R ≈ [ (k-p)9k – 10k-p ] / 10k = (k-p)9k / 10k - 1/10p (4) Le nombre p (de termes positifs) peut être rendu aussi grand que l'on veut : il suffit que k vérifie l'inégalité (2)
Donc lorsque k devient suffisamment grand : p devient également grand
et (4) → R ≈ (k-p)9k / 10k < k.(9/10)k
Le terme à droite, de la forme z . az avec a < 1 , tend vers 0 lorsque z tend vers l'infini
==> pour k suffisamment grand, le rapport R considéré ici est inférieur à 1. (RES) Donc
A partir d'une certaine valeur k0 de k (et de p qui lui est associée) , on a d(Nc,k0) > 0
Nc est un nombre crucial Nc = 1000 … 0 999 … 9 avec k0 chiffres (dont (k0-p) chiffres ''9'' ) Puisque les nombres cruciaux de nombre de chiffres k, donnent la valeur minimum pour pour d(N,k) , Avec ce qui précède :
==> d(N,k) > 0 pour N > Nc (k ≥ k0)
N.B. On voit que partant de Nc, les nombres N de k0 chiffres et inférieurs à Nc jusqu'à premier d'entre eux N0' = 1 000 … 0 , satisfont a fortiori à d(N,k0) > 0
En conclusion on peut trouver un nombre un nombre (ici N0') tel que ==> d(N,k) > 0 pour N ≥ N0'
Remarque importante
Partant de cela le nombre crucial immédiatement inférieur à Nc avec (k0-1) chiffres, est Nc' = 1000 … 0 999 ...9 avec (k0 -1 - p1) chiffres,''9''
N.B. Puisque k et p sont liés, le nombre p1 de chiffres 'non 9' ici n'est pas nécessairement égal à p lié à k0 Si d(Nc',k) > 0 , il faut poursuivre avec le nombre crucial inférieur avec k0-2 chiffres, etc ...
→ lorsqu'on se trouve dans la situation où après plusieurs itérations on a pour la première fois d(Nc*,k0*) < 0, (k0* < k)
avec Nc* un nombre crucial de la forme
Nc* = 1000 … 0 999 … 9 avec k0* chiffres [dont (k0* - p*) sont des ''9'' ] ,
on est alors assuré que le nombre N0 cherché (qui permet d'écrire d(N,k) > 0 pour tout N ≥ N0 ) , se trouve entre Nc* et N0* = 1000 … 0 avec k0*+1 chiffres
Appendice : Approche de la plus petite valeur seuil possible N0
On cherche ici à diminuer au mieux la valeur N'0 définie précédemment → Avec la remarque précédente :
détermination de la plus grande valeur possible k0* de k telle que pour
Nc = 1 000...0 999...9 qui possède (k0* – p) chiffres ''9'' , on a pour la dernière fois d(Nc,k0*) < 0
On a vu ci-dessus :
si k < 23, il y a un seul terme non négatif dans d(N,k) p = 1
Considérons le nombre crucial Nc = 1 999 ...9 avec k-1 chiffres ''9'' Par exemple pour k= 22 il y a 21 chiffres ''9'' dans Nc
→ Calcul de d(Nc,22) :
La relation (3) fournit la somme S9 de ses 21 termes < 0 → S9 = 1021 -1 – 21x 922 = -1.968 … 1022 Son seul terme positif est t1 = (1021 -1)
Donc d(Nc, 22) < 0
si 23 ≤ k < 45 Il y a 2 termes non négatifs dans d(N,k) p = 2
Considérons le nombre crucial Nc' = 10 999 … 9 avec k-2 chiffres ''9'' Par exemple pour k = 44 il y a 42 chiffres ''9'' dans Nc'
→ Calcul de d(Nc',44) :
S9 somme des 42 termes négatifs est S9 = 1042 -1 – 42x 944 = -3,97... 1043 La somme des deux termes positifs est t1 + t2 = (1043 -1) + 0
donc d(Nc',44) < 0
si 45 ≤ k < 67 il y a 3 termes non négatifs dans d(N,k) p =3
Considérons le nombre crucial Nc'' = 100 999 … 9 avec k-3 chiffres ''9'' Par exemple pour k = 66 il y a 63 chiffres ''9'' dans Nc''
→ Calcul de d(Nc'',66) :
La somme des 63 termes négatifs est S9 = 1063 -1 -63x966 = -5,916... 1064 La somme des termes positifs se réduit à t1+t2+t3 = (1065 -1)
On obtient ici
==> d(Nc'',66) > 0
Selon la 'remarque importante' ci-dessus
→ on doit donc rechercher, en décroissant à partir de k = 66, le premier k0* < k0 = 66 tel que pour le nombre critique
Nc* = 1000 999 ….9 avec k0* chiffres on a d(Nc*,k0*) < 0 pour la première fois Alors le nombre N0 seuil sera entre Nc* et le nombre Nsup = 1 000 … 0 avec (k0*+1) chiffres → Pour déterminer k0* on peut procéder par dichotomie à partir de l'intervalle en k [45, 66]
Avec k= 55 et Nc = 100 999 ...9 avec 52 chiffres ''9'' la somme S9 des 52 termes négatifs dans d(N,55) est S9 = -1,58 … 1054
la valeur absolue de S9 est plus grande que le terme positif (1054 -1) ==> d(Nc,55) < 0 Alors avec k = 60 ( ''milieu'' de l'intervalle en k [55,65] ) et le nombre crucial
Nc = 100 999 ...9 avec 57 chiffres ''9'' la somme des termes négatifs de ce Nc est
S9 = -1,014 … 1059
le terme positif est (1059 – 1) ==> d(N,60) < 0
Puisqu'ici en relatif d(N,60) est très peu négatif on s'attend, pour k = 61 (ou k =62) et le nombre crucial Nc1 (ou Nc2) que l'on peut associer à k, à obtenir d(Nc1,61) > 0 (ou à défaut d(Nc2,62) > 0)
Avec k = 61 , Nc1 = 100 999...9 avec 58 chiffres ''9'' conduit à
S9 = -9,280... 1059 pour la somme des termes négatifs et à (1060 -1) pour le terme positif
==> d(Nc1, 61) > 0
Donc k = 61 permet de cerner la valeur de k0* : avec les nombres cruciaux de la forme Nc = 100...0 999 ...9 avec k chiffres dont (k-p) chiffres ''9'' , on a obtenu le résultat suivant :
==> k0* =60 est la plus grande valeur de k donnant encore d(Nc,k0*) < 0 ( C1 )
→ De plus, d'après ce qui précède : puisque pour k0 = k0*+1 = 61 on a d(Nc1,k0) > 0 , on a donc a fortiori d(N,k) >0 pour tout k ≥ k0 = 61
En effet, dans le cas le plus défavorable, celui d'un nombre crucial Nc : avec R = | S9 | / terme positif de d(Nc,k) ,
il a été montré que R décroit lorsque k augmente (R → 0 avec k → infini) ==> d(N, k) > 0 pour tout N > Nc1
→ D'autre part,
Puisque Nc1 de 61 chiffres est un nombre crucial, - celui qui donne la plus petite valeur à d(N,61) -, cette valeur étant ici positive, on en déduit :
Tout nombre N61 de 61 chiffres (y compris le nombre crucial Nc1) vérifie d(N61, 61) > 0
Le plus petit d'entre eux est N0' = 1000 ...0000 (avec 60 zéro) Donc
==> lorsque N > N0', d(N0',k) > 0 ( C2 ) En rapprochant les conclusions ( C1) et ( C2) on en déduit que N0 cherché se situe entre
Nc = 100 999 … 9 composé de k0*= 60 chiffres et pour lequel d(Nc,60) < 0 et N0' = 100 … 0 composé de 61 chiffres dont 60 zéro
→ A partir de Nc le terme suivant qui donne un minimum est Nc' = 101 999 … 9 avec 60 chiffres la somme des termes dans d(Nc', 60) est toujours
S9 = -1,014 … 1059
la somme des termes positifs est (1059 – 1) + (1057 -1) = 1,010 … 1059 donc d(Nc',60) < 0
→ A partir de Nc' le terme suivant qui donne un minimum est Nc'' = 102 999 … 9 avec 60 chiffres la somme des termes négatifs dans d(Nc'',60) est S9 donnée ci-dessus,
la somme des termes positifs est (1059 – 1) + (2.1057 – 260) = 1,020 … 1059 ici d (Nc'',60) > 0
Alors comme déjà observé précédemment, cela est aussi vrai depuis N0 = 102 000 … 0 avec 57 zéro qui remplacent les 57 chiffres 9 de Nc'' (N0 ainsi défini est d'ailleurs Nc' + 1 )
En conclusion A partir d'un certain entier N0,
==> Tous les entiers N qui vérifient N ≥ N0 sont résistants ( d(N,k) >0 ) , la plus petite valeur de N0 déterminée ici est :
==> N0 = 102 000 ...0 où figurent 60 chiffres dont les 57 les plus à droite sont des zéro
