Intervalles et valeur absolue

Texte intégral

(1)Intervalles et valeur absolue. Cours. Définitions. Soient a et b deux nombres réels.. On appelle intervalle fermé [a ; b] l’ensemble des nombres réels x tels que a ⩽ x ⩽ b. On appelle intervalle ouvert ]a ; b[ l’ensemble des nombres réels x tels que a < x <. b. On définit de même les intervalles [a ; b[ et ]a ; b]. On note [a ; +∞[ l’ensemble des nombres réels x tels que x On note ]a ; +∞[ l’ensemble des nombres réels x tels que x. ⩾ a. > a.. On définit de même ] − ∞ ; a] et ] − ∞ ; a[.. Notation Le symbole +∞ se lit « plus l’infini ». Le symbole −∞ se lit « moins l’infini ».. Définitions. Soient I et J deux intervalles.. L’intersection de I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J. La réunion de I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.. Notation.

(2) L’intersection de deux intervalles I et J se note I ∩ J. La réunion de deux intervalles I et J se note I ∪ J.. Exemples La réunion des intervalles [3 ; 7] et [4 ; 10] est l’intervalle [3 ; 10]. On note [3 ; 7] ∪. [4 ; 10]. L’intersection des intervalles [3 ; 7] et [4 ; 10] est l’intervalle [4 ; 7]. On note [3 ; 7] ∩. [4 ; 10].. On peut représenter graphiquement un intervalle sur une droite graduée : Intervalle. Représentation graphique. [−3 ; 4]. ]2 ; 7[. On a dessiné des crochets au bord de l’intervalle pour indiquer s’il est ouvert ou fermé.. Définitions On appelle valeur absolue d’un nombre réel x la distance entre x et 0. On la note ∣x∣. Soient a et b deux nombres réels. On appelle distance entre a et b le nombre ∣a − b∣.. Propriété (admise) Soit x. ∈ R. On a ∣x∣ = {. x si x ⩾ 0 . −x si x < 0. Remarque. >0 : ∣⩽. Si a et r sont deux réels avec r. [. + ]. ∣.

(3) x ∈ [a − r ; a + r] ⇔ ∣x − a∣ ⩽ r.. Exemples. ∣5∣ = 5 et ∣ − 2∣ = 2 x ∈ [−2 ; 4] ⇔ x ∈ [1 − 3 ; 1 + 3] ⇔ ∣x − 1∣ ⩽ 3. Exercices. 14. [Représenter.]. Recopier et compléter le tableau comme dans l’exemple suivant. Inégalité. Intervalle. 2⩽x⩽4. x ∈ [2 ; 4]. Inégalité. Intervalle. 0<x⩽5. x ∈]0 ; 5] x ∈] − 3 ; 7[ x ∈] − ∞ ; 4]. 3⩽x. Représentation graphique. Représentation graphique.

(4) 15. [Raisonner.]. Compléter avec ∈ ou ∈ / 1. 2. ∈. ∈ / ]1 ; 3[. 2. 0. ∈. ∈ / [−1 ; 2[. 1 3. ∈. ∈ / [0 ; 3]. 4. 2. ∈. ∈ / ] − 2 ; 2[. 3.. 2. 5. 6. 0. ∈ ∈. ∈ / [−3 ; 1] ∈ / ]0 ; +∞[. 7. −100 8.. .. ∈. ∈ / ] − ∞ ; 1[. 1 10. ∈. 16. [Calculer.]. ∈ / [0,01 ; 0,2[. Recopier et compléter comme dans l’exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole ⇔ . Exemple : x ∈ [1 ; 2] si et seulement si 3x ∈ [3 ; 6]. x ∈ [1 ; 2] ⇔ 3x ∈ [3 ; 6] 1. x. ∈ [7 ; 20] si et seulement si 7x ∈ .... 2. x. ∈] − 1 ; 3] si et seulement si 7 − x ∈ .... 3. x. ∈ [−5 ; 7] si et seulement si 2x + 3 ∈ ....

(5) 4. x. ∈ ... si et seulement si −2x ∈ [1 ; +∞[. 5. x. ∈ ... si et seulement si 3 − x ∈] − ∞ ; 6]. 6. x. ∈ ... si et seulement si 7 + 2x ∈ [−1 ; 1]. 17. [Représenter.]. On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M(x ; y) tels que : 1 < x < 4 et 5 ⩽ y ⩽ 6. 1. Représenter graphiquement cet ensemble.. 2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points N(x ; y) tels que :. 1 ⩽ 2x + 1 ⩽ 4 et 5 < 2 − 5y < 6.. 18. PYTHON. [Calculer.]. On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.. def DansIntervalle(a, b, x): if x > a and x < b: return(True).

(6) else: return(False). 1. Que fait ce programme ?. 2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a ; b] puis à l’intervalle ]a ; b] et enfin à l’intervalle [a ; b[.. 19. PYTHON. [Calculer.]. On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.. def DansIntervalleBis(a, x): if a < x: return(True) else: return(False). 1. Que fait ce programme ?. 2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a ; +∞[ puis à l’intervalle ] − ∞ ; a] et enfin à l’intervalle ] − ∞ ; a[..

(7) Anecdote Le symbole ∞ pour représenter l’infini a été introduit par John Wallis en 1655.. 20. [Représenter.]. Chaque assertion suivante est supposée vraie. Dans chaque cas, écrire, sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles, le plus petit ensemble auquel appartient x. 1. x. ⩾ 3 ou x ⩽ 0. 2. x − 6. > 0 ou 5x ⩽ 5. 3. x. ⩽ 2 ou −4x ⩽ −20. 4. x. ⩾ 3 ou 3x ⩾ 12. 5. 7x − 4. 6. 1 − x. 21. ⩾ 3 ou 1 − x > 0. > −3 ou 2x + 1 ⩽ 7. [Raisonner.]. Écrire chaque condition sous forme d’intersection et trouver l’ensemble des réels a appartenant à cette intersection. 1. a. < 3 et a > −6. 2. a. ⩾ −5 et −a ⩾ −7. 3. 2a + 1. < 3 et 3a − 1 ⩾ 0.

(8) 4. 3(2 − a). 22. < 3 et a − 1 ⩾ 2. [Calculer.]. Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ? 1. 2 2. 3 −. 8 3. 3. 25 − 9π 4.. 1 1 − 2 3. 5.. 2−. 5. 6. −2 + 9 × (−3). 23. [Calculer.]. Donner la valeur absolue des nombres suivants. 1. −5. 2.. −2 −3. 3. −. 4. 3 −. 289 2 × (6 − 4) 3.

(9) 24. [Calculer.]. Calculer les valeurs absolues suivantes. 1. ∣∣10−7. − 10−3 ∣∣. 2. ∣17 − 25∣. 3. ∣1 −. 2∣. 4. ∣ − 3 − π∣. 25. [Calculer.]. Dans chaque cas, donner la distance entre les deux nombres réels donnés. 1. −2 et −12. 2.. 5 7 et 3 6. 3. −π et 2π. 4. −4 et 6. 26. [Raisonner.]. Pour chacune des inégalités suivantes, justifier si elle est vérifiée par le nombre 2 ou non. 1. ∣x − 3∣. ⩽2.

(10) 2. ∣x − 3∣. <1. 3. ∣x + 3∣. ⩽2. 4. ∣x − 2∣. <1. 27. [Calculer.]. Résoudre les équations suivantes. 1. ∣x∣. =8. 2. ∣x∣. = −5. 3. ∣x − 1∣. =3. 4. ∣2x + 1∣. 28. =4. VRAI / FAUX. [Chercher.]. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. 1. Pour tout x. ∈ R, 1 + x2 = ∣∣1 + x2 ∣∣ .. 2. Pour tout k. ∈ Z, ∣k∣ = −k.. 3. Pour tout x. ∈ R, ∣∣(−x)2 ∣∣ = −x2 ..

(11) 4. Pour tout n ∈. 29. N, ∣∣n2 − n∣∣ = n2 − n.. [Calculer.]. Quel est le plus grand intervalle auquel appartient x dans chacun des cas suivants ? 1. ∣x − 2∣. 2. x. ⩽ 15. 3. ∣x∣. 4. 0. ⩽3. ⩽1. ⩽x⩽2. 30. [Calculer.]. Donner un encadrement des nombres suivants à 10-3 près. 1.. 1 7. 2. 0,7586. 3.. 17. 4. 2,356 × 10−3.

(12) 31. [Calculer.]. Donner un encadrement d’amplitude 10-2 des nombres suivants. 1. −327,426. 2.. 3.. 5 8 2. 4. 4,52686 × 102. 32. [Modéliser.]. Dans la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de 32 ans pour entrer. Dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus 40 ans. 1. Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?. 2. Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?. 33. [Modéliser.]. L’Insee estime qu’un couple avec deux enfants appartient à la classe moyenne quand les revenus du foyer sont situés dans l’intervalle [3 253 ; 5 609]. M. Martin gagne 2 731 € et Mme Martin gagne 2 732 €. Ils ont deux enfants qui ne rapportent aucun revenu. La famille appartient-elle à la classe moyenne ?.

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