A362. Les réversibles
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution proposée par Gaston Parrour
Notation adoptée : Nr est un nombre de r chiffres et Mr est le nombre Nr lu de droite à gauche Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Tout d'abord, puisque N et M ont le même nombre de chiffres, nécessairement 1 < k <10 (k = 1 exclu)
Avec Nn+1 = an10n + an-110n-1 + … + a0 , la relation ''N = k.M'' se traduit par le système S des (n+1) égalités suivantes :
kan = a0 + 10r0 [0]
kan-1 + r0 = a1 + 10r1 [1]
…... ( S ) ka1 + rn-2 = an-1 + 10rn-1 [n-1]
ka0 + rn-1 = an [n]
où
chaque ri est la retenue au rang i reportée au rang i+1 ; puisque k <10 , → ri < 9 chaque ai est un chiffre → ai < 10
La présence symétrique de ai an-i implique ==> égalités compatibles deux à deux [0]et[n] [1]et[n-1] , … Avec cela et les contraintes précédentes, on peut préciser les valeurs possibles pour k
→ Valeurs permises pour k :
1 - Approche 1 : rendre compatibles les égalités [n] et [0]
L'égalité [n] permet de définir une valeur maximum de k, kmax, liée à a0 et rn-1 , car an < 10 Ainsi à partir de l'égalité [n]
→ avec rn-1 = 0 les couples (a0,kmax) sont (1,9) (2,4) (3,3) (4,2) Donc a priori pour un a0 possible, k peut varier de 2 à kmax :
Il faut alors que la valeur an (donnée par [n]) soit telle que k, a0 et an vérifient l'égalité [0]
→ les valeurs a0=2 an=8 (associée à k=4 dans [n]) vérifient l'égalité [0] avec r0 = 3 et les valeurs a0=1 an=9 (associée à k=9 dans [n]) '' '' avec r0 = 8
Cela constitue deux ensembles d'entiers pour lesquels le système S1 des deux égalités suivantes est vérifié kan = a0 + 10r0 [0]
ka0 + rn-1 = an [n] (S1) premier ensemble k = 4 a0 = 2 an = 8 r0=3 rn-1=0 SOL1
second ensemble k = 9 a0 = 1 an = 9 r0=8 rn-1=0 SOL2 En procédant de même avec les autres valeurs possibles de rn-1 :
→ avec rn-1 = 1 les couples (a0,kmax) sont (1,8) (2,4) (3,2) (4,2)
On vérifie simplement ici qu'aucune association a0, k et an (qui s'en déduit avec [n]) ne vérifie [0]
Exemple avec a0 = 1, [n] → k+1 = an , alors dans [0] → k(k+1) toujours pair ne peut être 1 (mod 10) → avec rn-1 = 2 les couples (a0,kmax) sont (1,7) (2,3) (3,2)
Les valeurs a0=2 an=6 (associée à k=2 dans [n]) vérifient [0] avec r0 = 1 Cela constitue un nouvel ensemble d'entiers pour lesquels le système S1 ci-dessus est vérifié troisième ensemble k = 2 a0 = 2 an = 6 r0 = 1 rn-1 = 2 SOL3 → avec rn-1 = 3 les couples (a0,kmax) sont (1,6) (2,3) (3,2)
De même que pour le cas rn-1 = 1 ci-dessus
On vérifie simplement ici qu'aucune association a0,k et an (qui s'en déduit avec [n]) ne vérifie [0]
→ avec rn-1 = 4 les couples (a0,kmax) sont (1,5) (2,2)
Les valeurs a0=1 an=7 (associée à k=3 dans [n]) vérifient [0] avec r0 = 2 D'où un
quatrième ensemble k = 3 a0 = 1 an = 7 r0 = 2 rn-1 = 4 SOL4
En procédant de façon identique pour les valeurs suivantes de rn-1 :
→ Aucune valeur de rn-1 pour 4 < rn-1 < 9 ne fournit un ensemble qui vérifie le système S1 Conclusion ''Approche 1''' :
==> La compatibilité des égalités [n] et [0] restreint à 4 le nombre de valeurs de k à ce niveau 1:
k = 2 k = 3 k = 4 k = 9
→ A ces valeurs de k sont liés quatre ensembles d'entiers chacun rendant compatibles [n] et [0] de S1 : k = 4 a0 = 2 an = 8 r0= 3 rn-1= 0 SOL1
k = 9 a0 = 1 an = 9 r0= 8 rn-1= 0 SOL2 k = 2 a0 = 2 an = 6 r0 = 1 rn-1 = 2 SOL3 k = 3 a0 = 1 an = 7 r0 = 2 rn-1 = 4 SOL4 Remarques : 1 - on peut noter qu'avec n = 1 on attend rn-1 = r0
→ cela est impossible pour les 4 ensembles ==> les nombres à 2 chiffres (n=1) ne sont pas réversibles
2 – le groupement par paires d'égalités dans (S) [0]-[n] [1]-[n-1] … soit donc a priori n impair ne tient pas compte des cas ''n pair''
Ici donc avec n = 2 on a affaire, en plus des égalités [0]-[2] (rendues compatibles par SOL1 … SOL4) à ka1 + r0 = a1 + 10r1
→ On peut vérifier directement que r0 et r1 , de SOL1 à SOL4 , sont incompatibles avec cette égalité ==> les nombres à 3 chiffres (n=2) ne sont pas réversibles 2- Approche 2 : rendre compatibles AUSSI les égalités [n-1] et [1]
Pour déterminer les entiers pour lesquels le système S2 des deux égalités suivantes est vérifié
kan-1+r0 = a1 + 10r1 [1]
ka1 + rn-2 = an-1 + 10rn-1 [n-1] (S2) sachant que le système (S1) est vérifié, on peut considérer successivement les 4 solutions SOL1 … SOL4 2.1 SOL1 k = 4 r0=3 rn-1=0 [n-1] → 4a1 + rn-2 = an-1 → Avec -1 < a1 <10 , les couples (rn-2, an-1) qui vérifient l'égalité [n-1] sont a1 = 1 (rn-2, an-1) : (0,4) (1,5) (2,6) (3,7) (4,8) (5,9) a1 = 2 (rn-2, an-1) : (0,8) (1,9) Pour satisfaire de plus [1] de (S2) [1] → 4an-1+ 3 = a1 + 10r1 , a1 doit être impair a1 = 1 Alors un seul couple ci-dessus convient : (rn-2, an-1) = (3,7) avec r1 = 3 ==> SOL1 (Approche 1) avec k = 4 complétée par a1 = 1 an-1 = 7 r1=3 rn-2=3 SOL1,2 vérifie les systèmes S1 ET S2 Remarques : 1 - à l'encontre de la fin de l'approche 1, on note ici que rn-2 = r1 → n = 3 est donc permis Ce nombre à 4 chiffres obtenu avec ''SOL1 + SOL1,2'' soit k = 4 a0=2 a1=1 an-1=a2=7 an=a3=8 , est N4 = 8712 , et avec son ''image'' M4=2178, il vérifie N4 = 4.M4 2 – avec ce résultat il est clair que tout nombre composé à partir de ce bloc de base obéira à la même propriété : un nombre tel que Nr= N4(0)N4 où (0) indique un nombre arbitraire de ''0'', vérifie avec son ''image'' Mr=M4(0)M4 la relation N = kM ==> En particulier : avec deux ''0'' médians on a affaire à un nombre à 10chiffres N10 = 8712008712 et N10= 4.M10 où M10=2178002178 3 – Avant de passer SOL2, on peut examiner ici le cas → n = 4 Le système général (S) contient alors 5 égalités ka4 = a0 + 10r0 [0]
ka3 + r0 = a1 + 10r1 [1]
ka2 + r1 = a2 + 10r2 [2]
ka1 + r2 = a3 + 10r3 [3]
ka0 + r3 = a4 [4]
Alors ici avec ''SOL1'' complétée par ''SOL1,2'' : [0]-[n=4] et [1]-[n-1=3] sont compatibles Dans ce cas l'égalité [2] ci_dessus peut-elle être satisfaite ?
Avec ''SOL1,2'' on a obtenu r1=3 et rn-2=r1=3 (k=4) , elle s'écrit : [2] → 4.a2 + 3 = a2 + 10.r2
Cette égalité est vérifiée avec a2 = 9
==> un nombre à 5 chiffres est donc solution de ce système
Ce nombre à 5 chiffres obtenu avec ''SOL1 + SOL1,2'' complétée par a2=9 , soit k = 4 a0=2 a1=1 a2=9 an-1=a3=7 an=a4=8 , est
N5 = 87912 qui avec son ''image'' M5=21978, vérifie N5 = 4.M5
→ Ici encore on peut noter que tout nombre composé à partir de ce bloc de base obéira à la même propriété En particulier N'10 = 8791287912 vérifie N'10 = 4.M'10 (M'10 est N'10 lu de droite à gauche)
==> l'Approche 2 à partir de SOL1 confirme k = 4 et permet de déterminer au passage deux réversibles N10 et N'10
2.2 SOL2 k=9 r0=8 rn-1=0 Alors
[n-1] de S2 ci-dessus → 9a1 + rn-2 = an-1 + 0 → deux possibilités
a1 = 1 → (rn-2, an-1) : (0,9) (p1) a1 = 0 → an-1 = rn-2 donc an-1 < 9 (p2) Alors
[1] → 9an-1+ 8 = a1 + 10r1
Avec (p1) où an-1 = 9 et a1 = 1, cela est impossible car ri < 9
(p2) où a1 = 0 est vérifiée si an-1 = 8 et r1 = 8 , alors rn-2 (= an-1) = 8 ==> SOL2 (Approche 1) avec k = 9 complétée par
a1 = 0 an-1 = 8 r1=8 rn-2=8 rn-1 = 0 SOL2,2 vérifie les systèmes S1 ET S2
Remarques : comme pour SOL1 1 ci-dessus 1 - Avec l'égalité rn-2 = r1 → n = 3 est donc permis
Ce nombre à 4 chiffres obtenu avec ''SOL2 + SOL2,2'' soit k = 9 a0=1 a1=0 an-1=a2=8 an=a3=9 , est
N'4 = 9801 , et avec son ''image'' M'4=1089 , il vérifie N'4 = 9.M'4 2 – Ici également on peut introduire des ''0'' médians
==> En particulier : avec deux ''0'' médians on a affaire à un nombre à 10chiffres N''10 = 9801009801 et N'10= 9.M'10 où M'10 = 1089001089
3 – Avant de passer à SOL3, on peut examiner le cas → n = 4 Dans ce cas l'égalité [2] peut-elle être satisfaite ?
Avec ''SOL2,2'' on a obtenu r1=8 et rn-2=r1=8 (k=8) , elle s'écrit : [2] → 9.a2 + 8 = a2 + 10.r2 ici rn-2 = r2 = 8
Cette égalité est vérifiée avec a2 = 9
==> un nombre à 5 chiffres est donc solution de ce système
Ce nombre à 5 chiffres obtenu avec ''SOL2 + SOL2,2'' complétée par a2=9 , soit k = 9 a0=1 a1=0 a2=9 an-1=a3=8 an=a4=9 , est
N5 = 98901 qui avec son ''image'' M5=10989, vérifie N5 = 9.M5
→ Ici encore on peut noter que tout nombre composé à partir de ce bloc de base obéira à la même propriété En particulier N'''10 = 9890198901 vérifie N'''10 = 9.M'''10 (M'''10 est N'''10 lu de droite à gauche)
==> l'Approche 2 à partir de SOL2 confirme k = 9 et permet de déterminer au passage deux réversibles N''10 et N'''10 2.3 SOL3 k = 2 r0 = 1 rn-1=2
[n-1] de S2 → 2a1 + rn-2 = an-1 + 20
Avec les contraintes ai < 10 et ri < 9, les couples (rn-2,an-1) selon les valeurs a1 possibles, sont a1= 6 → (rn-2,an-1) : (8,0)
a1=7 (rn-2,an-1) : (6,0) (7,1) (8,2)
a1=8 (rn-2,an-1) : (4,0) (5,1) (6,2) (7,3) (8,4)
a1=9 (rn-2,an-1) : (2,0) (3,1) (4,2) (5,3) (6,4) (7,5) (8,6) Puisque ici
[1] de S2 → 2an-1+ 1 = a1 + 10r1 , les valeurs paires de a1 sont exclues Seul, avec a1=9, le couple (rn-2,an-1) : (6,4) répond à la question avec r1 = 0 ==> SOL3 avec k = 2 complétée par
a1 = 9 an-1 = 4 r1=0 rn-2=6 , SOL3,2 vérifie les systèmes S1 ET S2
MAIS
Remarques : 1 - ici r1 n'est pas égal à rn-2 donc cela exclut la possibilité de n = 3 (un nombre à 4 chiffres) 2 – comme dans 2.1 ci-dessus, on peut examiner le cas n = 4.
L'égalité [n-2=2 ici] du système à satisfaire est [2] → ka2 + r1 = a2 + 10r2
Or avec ''SOL3,2'' on a obtenu r1=0 et rn-2=6 (k=2) ==> égalité [2] impossible De façon plus générale :
→ Puisqu'ici k = 2, quelle que soit la valeur de n > 3 l'égalité [n-2] de S est impossible avec rn-2 = 6 ==> l'Approche 2 à partir de SOL3 montre que la valeur k = 2 ne peut être retenue
2.4 SOL4 k = 3 r0 = 2 rn-1=4
[n-1] de S2 → 3a1 + rn-2 = an-1 + 40 → égalité impossible avec a1 < 10 et rn-2 < 9
==> Pas de solution pour S2 à partir de SOL4 k = 3 impossible
Conclusion en fin ''Approche 2'' :
La compatibilité des égalités de S1 et de S2 et les remarques en 2.3 conduisent à : ==> deux valeur de k peuvent être retenues k = 4 et k = 9
→ A ces DEUX valeurs de k sont liés 2 ensembles d'entiers qui rendent compatibles [n]-[0] et [n-1]-[1]:
k = 4 a0 = 2 a1 = 1 an-1 = 7 an = 8 (r0 = 3 r1= 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 ) (SOL1+SOL1,2) k = 9 a0 = 1 a1 = 0 an-1 = 8 an = 9 (r0 = 3 r1= 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 ) (SOL12+SOL2,2) ==> QUATRE nombres réversibles de 10 chiffres N10 = 8712008712 N'10 = 8791287912 N''10 = 9801009801 N'''10 = 9890198901 , ont été déterminés au passage
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres Les approches précédentes en Q1 peuvent se poursuivre pour k = 4 PUIS pour k = 9
1 - SUITE de Q1 pour k = 4
→ Pour déterminer d'autres entiers N10 de 10 chiffres réversibles (10 égalités dans S, soit [n ]= [9]), on peut ainsi poursuivre après ''Approche 2''
1 – afin de déterminer la compatibilité de [n-2=7] et [2] → ''Approche 3''
2 - puis les compatibilités de [6] et [3] , puis de [5] et [4] → ''Approche 4'' et ''Approche 5''
1 – Approche 3: en poursuivant avec k = 4 r1=3 rn-2=3 (''Approche 2'') Compatibilité pour [n-2] et [2] du système S3 suivant (extrait de S) kan-2+r1 = a2 + 10r2 [2]
ka2 + rn-3 = an-2 + 10rn-2 [n-2] (S3) [n-2] de S3 ci-dessus → 4a2 + rn-3 = an-2 + 30 (A) cela exige a2 > 5 , les couples (rn-3,an-2) selon les valeurs permises de a2 sont alors a2=6 → (rn-3,an-2) : (6,0) (7,1) (8,2) (A6)
a2=7 → (rn-3,an-2) : (2,0) (3,1) (4,2) (5,3) (6,4) (7,5) (8,6) (A7) a2=8 → (rn-3,an-2) : (0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,8) (7,9) (A8) a2=9 → (rn-3,an-2) : (0,6) (1,7) (2,8) (3,9) (A9) Il faut alors que [2] de S3 soit compatible
[2] de S3 → 4an-2 + 3 = a2 + 10r2 , donc les valeurs paires de a2 sont exclues Conclusion ''Approche 3''
Les couples (rn-3,an-2) suivants avec les valeurs a2 impaires qui leur correspondent, conviennent pour (S3) avec a2 = 7 → (rn-3,an-2) : (3,1) avec r2 = 0 (1)
(8,6) avec r2 = 2 (2) avec a2 = 9 → (rn-3,an-2) : (3,9) avec r2 = 3 (3)
==> Ces valeurs pour a2, an-2 et r2 , rn-3 complètent l'ensemble d'entiers déterminé à la fin de ''Approche 2'' créant a priori TROIS ensemble d'entiers pour lesquels S1, S2, S3 sont compatibles
2 – Approche 4 : rendre compatibles [n-3] et [3] du système S4 suivant kan-3+r2 = a3 + 10r3 [3]
ka3 + rn-4 = an-3 + 10rn-3 [n-3] (S4) → d'emblée la solution (2) ci-dessus de ''Approche 3'', ne peut être retenue :
avec rn-3 = 8 pas de solution possible pour l'égalité [n-3]
→ Pour déterminer les entiers pour lesquels le système S4 est vérifié sachant que S1, S2, S3 le sont, , on doit prendre en compte les ''solutions'' (1) et (3) ci-dessus relatives à (S3)
2.1 Solution (1) de l'Approche 3 k = 4 r2=0 rn-3= 3 (a2=7) [n-3] de S4 → 4a3 + rn-4 = an-3 + 30
Remarque : égalité (à un décalage d'indice près) identique à l'égalité (A) pour [n-2] dans ''Approche 3'' → Après décalage des indices, les couples (rn-4, an-3) reliés à a3 = 6, 7, 8 ,9 sont donc identiques aux couples (rn-3, an-2) liés à a2 = 6, 7, 8, 9 ; groupes (A6),(A7), (A8), (A9) Alors l'égalité
[3] de S4 → 4an-3 + 0 = a3 + 30 ==> a3 doit être pair ici, n'a pas de solution avec a3 = 6 ,
est vérifiée avec a3 = 8 → les couples (rn-4, an-3) : (0,2) avec r3 = 0 (a) (5,7) avec r3 = 2 (b)
Remarque : d'emblée on ne peut retenir le couple (b) ci-dessus dans lequel rn-4 = 5 ; cela rend impossible une égalité [n-4] dans laquelle il y a k=4 à gauche et avec 10rn-4 à droite
==> Une seule solution retenue pour satisfaire S4 à partir de solution (1) de ''Approche 3'' :
En résumé de 2.1 les paires d'égalités de S1, S2, S3, S4 sont satisfaites avec LE jeu d'entiers suivants k = 4 a0 = 2 a1 = 1 a2 = 7 a3 = 8 an-3 = 2 an-2 = 1 an-1 = 7 an = 8 r0 = 2 r1= 3 r2 = 0 r3 = 0 rn-4 = 0 rn-3 = 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 (I) 2.2 Solution (3) de l'Approche 3 k = 4 r2=3 rn-3= 3 (a2=9)
[n-3] de S4 → 4a3 + rn-4 = an-3 + 30
→ Ici encore on retrouve une équation de type (A) → les valeurs permises pour a3 et les couples associés sont donc les mêmes que ci-dessus en 2.1
L'égalité [3] de S4 s'écrit ici
[3] de S4 → 4an-3 + 3 = a3 + 30 ==> a3 doit être impair Elle est satisfaite avec 2 valeurs de a3 et des couples associés :
a3=7 et les couples (rn-4, an-3) : (3,1) avec r3 = 0 (a') (8,6) avec r3 = 2 (b')
→ la même remarque que dans le cas (b) de 2.1 s'applique ici : le couple (b') ne peut être retenu car rn-4 = 8 a3 = 9 et le couple (rn-4, an-3) : (3,9) avec r3 = 3 (c')
==> Deux solutions retenues pour satisfaire S4 à partir de solution (3) de ''Approche 3'' :
En résumé de 2.2 les paires d'égalités de S1, S2, S3, S4 sont satisfaites avec les DEUX jeux d'entiers k = 4 a0 = 2 a1 = 1 a2 = 9 a3 = 7 an-3 = 1 an-2 = 9 an-1 = 7 an = 8 r0 = 2 r1= 3 r2 = 0 r3 = 0 rn-4 = 3 rn-3 = 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 (II) k = 4 a0 = 2 a1 = 1 a2 = 9 a3 = 9 an-3 = 9 an-2 = 9 an-1 = 7 an = 8 r0 = 2 r1= 3 r2 = 3 r3 = 3 rn-4 = 3 rn-3 = 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 (III) Conclusion ''Approche 4''
Trois ensemble d'entiers (I) (II) (III) ci-dessus rendent compatibles S1 S2 S2 S4
N.B. Dans (I) et dans (III) r3 = rn-4 autorise en particulier n = 7 : les deux ensembles d'entiers ai correspondants fournissent des nombres réversibles N8 à 8 chiffres.
3 – Approche 5 : rendre compatibles [n-4] et [4] dans le système S5 suivant kan-4+r3 = a4 + 10r4 [4]
ka4 + rn-5 = an-4 + 10rn-4 [n-4] (S5) A partir des ensembles d'entiers précédents
3.1 Solution (I) de l'approche 4 ci-dessus k = 4 r3 = 0 rn-4 = 0 (a3=8 an-3=2) [n-4] de S5 → 4a4 + rn-5 = an-4 + 0
Les couples (rn-5,an-4) qui conviennent selon les valeurs permises de a4 sont a4 = 1 → (rn-5,an-4) : (0,4) (1,5) (2,6) (3,7) (4,8) (5,9)
a4 = 2 → '' (0,8) ( 1,9) Alors, l'égalité [4] de S5 qui s'écrit
[4] → 4an-4 + 0 = a4 + 10 r4 où les a4 sont donc pair, admet la ''solution'' a4 = 2 → couple (rn-5,an-4) : (0,8) avec r4 = 3
==> solution non acceptable pour un nombre à 10 chiffres En effet :
→ Ici le dernier couple de retenues mises en jeu est r4=3 rn-5=0 Puisque rn-5 n'est pas égal à r4 , cela interdit n= 9 (nombre à 10 chiffres) En résumé de 3.1
==> La solution trouvée ici pour S5 ne peut produire un nombre N10 réversible à 10chiffres Elle ne peut être retenue que pour prolonger au delà de 10 chiffres
3.2 Solution (II) de l'approche 4 ci-dessus k = 4 r3 = 0 rn-4 = 3 ( a3 = 7 an-3 = 1) [n-4] de S5 → 4a4 + rn-5 = an-4 + 30
On retrouve ici l'égalité (A) de l'Approche 3, et en conséquence les valeurs de a4 > 5 et les valeurs (A6) (A7) (A8) (A9) des couples [ ici (rn-5,an-4) ] qui s'y rattachent.
Alors
[4] de S5 → 4an-4 + 0 = a4 + 10 r4 où les a4 sont donc pairs, conduit à : a4 = 6 est exclu : aucun couple de (A6) ne convient
a4 = 8 → couple (rn-5,an-4) : (0,2) convient avec r4 = 0 pour satisfaire S5
En résumé de 3.2 :les paires d'égalités de S1, S2, S3, S4, S5 sont satisfaites avec le jeu d'entiers suivant qui autorise n
= 9
k = 4 a0 = 2 a1 = 1 a2 = 9 a3 = 7 a4=8 an-4=2 an-3 = 1 an-2 = 9 an-1 = 7 an = 8 r0 = 2 r1= 3 r2 = 0 r3 = 0 r4 = 0 rn-5=0 rn-4 = 3 rn-3 = 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 (E1)
3.3 Solution (III) de l'approche 4 ci-dessus k = 4 r3 = 3 rn-4 = 3 ( a3 = 9 an-3 = 9) [n-4] de S5 → 4a4 + rn-5 = an-4 + 30
Cette égalité identique à celle rencontrée en 3.2 ci-dessus, conduit aux mêmes jeu de valeurs : a4 > 5 et les couples (rn-5,an-4) correspondants sont définis dans (A6) … (A9)
Alors
[4] de S5 → 4an-4 + 3 = a4 + 10 r4 où les a4 ici sont donc impairs, conduit à conserver a priori deux valeurs de a4 :
a4 = 7 → couples (rn-5,an-4) : (3,1) avec r4 = 0 (8,6) avec r4 = 2
Puisque rn-5 n'est pas égal à r4 , cela interdit le choix n= 9 : les solutions trouvées ici pour S5 ne peuvent produire un nombre N10 réversible à 10chiffres
N.B. De plus, comme pour des cas semblables déjà rencontrés : le dernier couple est exclu car rn-5 = 8 et a4 = 9 → couple (rn-5,an-4) : (3,9) avec r4 = 3 qui convient
En résumé de 3.3 :les paires d'égalités de S1, S2, S3, S4, S5 sont satisfaites avec le jeu d'entiers suivant qui autorise n
= 9 :
k = 4 a0 = 2 a1 = 1 a2 = 9 a3 = 9 a4=9 an-4 = 9 an-3 = 9 an-2 = 9 an-1 = 7 an = 8 r0 = 2 r1= 3 r2 = 3 r3 = 3 r4 = 3 rn-5=3 rn-4 = 3 rn-3 = 3 rn-2 = 3 rn-1 = 0 (E2) Conclusion ''Approche 5'' avec k = 4 Ici, DEUX ensembles d'entiers (E1) et (E2) conviennent pour n =9 dans S → A partir de la solution (E1) on obtient le nombre réversible
8791287912 qui est le nombre N'10 déjà rencontré dans la question Q1 A partir de la solution (E2) on obtient le nombre réversible
N'''''10 = 8799999912 ==> Compte tenu des résultats obtenus dans Q1
Les nombres à 10 chiffres suivants sont réversibles pour k = 4
N10 = 8712008712 N'10 = 8791287912 N''''10 = 8799999912 2 - SUITE de Q1 pour k = 9
→ A partir du cas précédent k = 4 , on peut tout d'abord faire la remarque suivante : Une solution ''de base'' N4 réversible à QUATRE chiffres (N4 = 8712) est déterminée en Q1
A partir de celle-ci , les nombres N, N', N'''' à 10 chiffres retenus ci-dessus (k = 4) , sont formées de trois façons différentes : (a) dupliquer ce ''bloc'' de 4 chiffres et insérer au milieu 2 chiffres ''0'' afin de passer à 10 chiffres → N10 réversible (b) insérer au milieu des 4 chiffres un ''9'' (N5 = 87912) ; on produit alors un nombre N5 réversible de 5 chiffres.
Dupliquer alors ce bloc de 5 chiffres N5 → N'10 de 10 chiffres, réversible
(c ) en notant qu'en fait l'insertion médiane d'un nombre quelconque de ''9'' dans ce nombre réversible à 4 chiffres , produit toujours un nombre réversible, on crée → 8799999912 ( N''''10, le troisième réversible de 10 chiffres pour k = 4 ci-dessus) → pour k= 9 , on peut reconduire cela :
En Q1 on a obtenu une solution de base réversible à QUATRE chiffres → N4 = 9801 (pour k = 9 (Approche 2 ) Avec cela on a formé (selon (a) ci-dessus) N''10 = 9801009801 réversible avec k = 9
(selon (b) ci-dessus) N'''10 = 9890198901 '' ''
Ici → En formant alors (selon (c ) ci-dessus) le nombre 98999 99901 , c'est un N'''''10 réversible à 10 chiffres avec k= 9
N.B. Avec k = 9 : on peut vérifier directement qu'aucun autre nombre réversible à 10 chiffres (autre que ces 3 derniers nombres à 10chiffres) n'est trouvé ; cela en explorant systématiquement (comme ci-dessus pour k = 4) avec une Approche 3 , puis une Approche 4 et Approche 5 les solutions possibles au système S initial
Les nombres à 10 chiffres suivants sont réversibles pour k = 9
N''10 = 9801009801 N'''10 = 9890198901 N'''''10 = 98999 99901 En conclusion :
==> DEUX valeurs de k différentes , k=4 et k =9 sont possibles pour obtenir des nombres réversibles.
En particulier 6 nombres de 10 chiffres sont réversibles (au sens défini dans l'énoncé) : Les nombres à 10 chiffres suivants sont réversibles pour k = 4
N10 = 8712008712 N'10 = 8791287912 N''''10 = 8799999912 Les nombres à 10 chiffres suivants sont réversibles pour k = 9
N''10 = 9801009801 N'''10 = 9890198901 N'''''10 = 98999 99901
