A362. Les réversibles
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons n= udc…c’d’u’ et k*n=m= U’D’C’…CDU
Q1- k ≠ 5 car ku’ doit être non nul et vaut donc 5 modulo 10, et alors U=u=5 et ku est>10
Si k<5 u peut alors prendre des valeurs de 1 à la partie entière de 10/k
Si k=2, m est pair donc U=u=2 ou 4. U’=2u+une retenue au plus égale à 1, soit U’=4,8,5 ou 9.
Mais le chiffre des unités de 2*u’ ne peut être égal à U. Donc k ≠ 2.
Si k=3, u peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3
Si u=1, U=1 et U’=7, mais 3*u = 7 nécessiterait une retenue égale à 4. Ne convient pas.
Si u=2, U=2 et U’=4 3*u=4 est impossible. Ne convient pas.
Si u=3, U=3 et U’=1 3*u=1 est impossible. Ne convient pas. . Donc k ≠ 3.
Si k=4, u peut prendre les valeurs 1 ou 2.
Si u=1 U=1 mais m est pair. Impossible.
u=2, U=2 u’= 3 ou 8 et U’=8 ou 9 si retenue, donc u’=U’=8 Si d’=0, alors D=3=d, ce qui entrainerait une retenue pour U’
Si d’=1, alors D=7=d, ce qui entrainerait une retenue pour U’
Si d’=2, alors D=1=d, alors D=1=d soit D’=4+retenue éventuelle ; trop grand puisqu’une retenue vers U’ est interdite.
Si d’=3, alors D=5=d, trop grand Si d’=4, alors D=9=d, trop grand
Si d’=5, alors D=3=d, ce qui entrainerait une retenue pour U’
Si d’=6, alors D=7=d, trop grand
Si d’=7, alors D=1=d, soit D’=7 ; il faut une retenue de3 pour atteindre7, présente avec 4*8.
Si d’=8, alors D=1=d, soit D’=5=d trop grand Si d’=9, alors D=9=d, trop grand
Donc 2178*4= 8712
On peut essayer d’ajouter un chiffre des centaines c seule la valeur 9 convient :
21978*4=87912 On peut essayer d’ajouter un autre chiffre c’ seule la valeur 9 convient : 219978*4=879912 Rien n’empêche d’incorporer d’autres 9.
Si k>5 u doit valoir 1 pour que ku<10 u=U=1 et ku’ modulo10 vaut 1.. cela élimine k=6, et k=8.
Si k=7 alors u=1, u’=3 et U’=3 mais U’=ku+une retenue éventuelle ≥k donc ≠ 3 et k=7 ne convient pas.
Si k=9 alors u=1 et u’=9= U’ et D contient la retenue 8 de la multiplication ku’. Mais d*k ne doit pas avoir de retenue perturbant U’ donc d= 0 ou 1 et alors k*d’ a 2 ou 3 comme chiffre des unités soit d’=
8 ou d’=7. d’=7 ne peut être bon car D=1 d’où D’=9≠7. Il s’ensuit que d’=8 et D=0 Ainsi 1089*9=9801 correspondant à udd’u’ *9 = U’D’DU
On peut essayer d’ajouter un chiffre des centaines c seule la valeur 9 convient : 10989 *9 = 98901 On peut aussi ajouter c’=9
109989 *9 = 989901 Rien n’empêche d’incorporer d’autres 9.
Q2-
Si on note R4,R5,R6,… les entiers réversibles élémentaires Rp de p chiffres , on peut en construire beaucoup d’autres par concaténation comme :
R4|R4, R4|0|R4, R4|00|R4, R5|R5, R4|R5|R4,….en respectant une certaine symétrie, sans inverser les motifs similaires.
Les entiers réversibles de 10 chiffres, avec k=4 sont : 2199999978 R10 2178002178 R4|00|R4
2197821978 R5|R5 et leurs réverses Les entiers réversibles de 10 chiffres, avec k=9, sont : 1099999989 R10 1089001089 R4|00|R4
1098910989 R5|R5 et leurs réverses
79 *9= 7 11
