A362. Les réversibles Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution de Paul Voyer Q1
A part 1, k pourrait a priori prendre les valeurs 2, 3, 4, 7, 9.
5, 6 et 8 sont exclus car m devrait commencer/n se terminer par "1".
9 impose m commençant/n se terminant par 1 donc 10…/…01 7 impose m commençant/n se terminant par 1
donc par 13…/…31.
4 impose m commençant/n se terminant par 2 donc par 23…/…32 ou 28…/…82.
3 impose m commençant/n se terminant par 1 ou 2 donc par 17…/…71 ou 24…/…42.
2 impose m commençant/n se terminant par 2 ou 4
donc par 21…/…12, 26…/…62, 41…/…14, 46…/…64.
De fait, tous les termes sont de la forme 87…12=4*21…78 ou 98…01=9*10…89.
proved by Hoey, 1992 http://oeis.org/A031877
k ne peut prendre que les valeurs 4 et 9 Q2
Les seuls 6 entiers "palintiples" de 10 chiffres sont :
8712008712 = 4*2178002178 8791287912 = 4*2197821978 8799999912 = 4*2199999978
9801009801 = 9*1089001089 9890198901 = 9*1098910989 9899999901 = 9*1099999989
