Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Q1 : m et n ayant le même nombre de chiffres, le rapport k entre les deux est donc compris entre 2 et 9. Soient a et b les premier et dernier chiffres de n.
Si k≥5, le premier chiffre de m est obligatoirement b=1, et le premier chiffre de n est a, également dernier chiffre de m tel que ak=1 (mod 10) : pour k=7, cette égalité est vérifiée pour a=3, mais la valeur n’est pas admissible comme premier chiffre de n ; par contre pour k=9, a=9 convient.
Pour k=4, on peut avoir b=2, donc a=8, et ak=32=b (mod 10) ; les valeurs k=2 et 3 ne donnent pas de solution.
En résumé les valeurs possibles pour k sont 4 et 9
Q2 : Il n’y a pas de solution pour des nombres de 2 ou 3 chiffres.
Pour 4 chiffres, 1089*9=9801 et 2178*4=8712 (11*99 *9 et 22*99 *4) Pour 5 chiffres, 10989*9=98901 et 21978*4=87912
...
Pour 10 chiffres 1099999989*9=9899999901 et 2199999978*4=8799999912.
Mais pour être complet, il faut ajouter les solutions obtenues à partir des solutions à 4 chiffres (en multipliant par 1000001), ou à 5 chiffres (en multipliant par 100001) : 1089001089*9=9801009801 et 2178002178*4=8712008712
1098910989*9=9890198901 et 2197821978*4=8791287912.
Notons que le nombre pour k=4 est le double de celui pour k=9.
