TP N◦ 1 Sp´e Math
Les nombres entiers
Objectif
Dans cette premi`ere activit´e, il s’agit de se refamiliariser avec les nombres entiers et la notion de divisibilit´e
E
XERCICE1 : C
ALCULATRICE INTERDITEMettre une croix dans chaque case correspondant `a une affirmation vraie.
Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 4 Divisible par 5 Divisible par 9 Divisible par 11
2556 3597 25422 38720 800733
36321
E
XERCICE2
1. Justifier que le nombre
1734343434343434345168187 est divisible par 17
2. N = 33667712126419844552536217 est-il divisible par 11 ?
S’il ne l’est pas, donner le nombre entier le plus proche deN qui soit divisible par 11
E
XERCICE3
1. On consid`ere un nombre entiern `a 4 chiffres dont l’´ecriture d´ecimale est abcd.
Quelle est l’affirmation exacte ?
r n=a+ 10b+ 100c+ 1000d= r n= 1000a+100b+10c+d r n=a+b+c+d
2. D´emontrer qu’un nombre entier `a 4 chiffres dont l’´ecriture d´ecimale est abcdest divisible par 3 si et seulement si :a+b+c+dl’est aussi
3. A la maison
D´emontrer qu’un nombre entier `a 4 chiffres dont l’´ecriture d´ecimale estabcd est divisible par 11 si et seulement si :−a+b−c+dl’est aussi
E
XERCICE4
1. A= 3351246 est-il divisible par 7 ? Justifier.
2. S’il ne l’est pas, donner le nombre entier le plus proche deA qui soit divisible par 7
1 6 septembre 2016
TP N◦ 1 Sp´e Math
E
XERCICE5
On consid`ere l’algorithme ci-dessous ´ecrit en langage Algobox et en langage Xcas )
Les valeurs a et b en entr´ee sont n´ecessairement des nombres entiers strictement positifs.
Programme Algobox
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 q EST_DU_TYPE NOMBRE 5 r EST_DU_TYPE NOMBRE 6 n EST_DU_TYPE NOMBRE 7 s EST_DU_TYPE NOMBRE 8 DEBUT_ALGORITHME 9 LIRE a
10 LIRE b
11 s PREND_LA_VALEUR 0 12 n PREND_LA_VALEUR 0 13 TANT_QUE (s<=a) FAIRE 14 DEBUT_TANT_QUE
15 n PREND_LA_VALEUR n+1 16 s PREND_LA_VALEUR s+b 17 FIN_TANT_QUE
18 q PREND_LA_VALEUR n-1 19 r PREND_LA_VALEUR a-b*q 20 AFFICHER a
21 AFFICHER "="
22 AFFICHER b 23 AFFICHER "*"
24 AFFICHER q 25 AFFICHER "+"
26 AFFICHER r 27 FIN_ALGORITHME
Programme Xcas
programme1():=
{local a,b,q,r,n ,S;
saisir(a);
saisir(b);
q:=0;
r:=0;
n:=0;
S:=0;
tantque S<=a faire S:=S+b;
n:=n+1;
ftantque q:=n-1;
r:=a-b*q;
afficher("q="+q) ; afficher("r="+r) }
1. Mettre en oeuvre cet algorithme ( Sur algobox ou Xcas ) puis exp´erimenter son effet avec divers nombres entiers a et b.
2. Quel est l’effet de cet algorithme ?
L
ES NOMBRES PARFAITSD´efinition
On appellenombre parfaittout nombre ´egal `a la somme de ses diviseurs propres.
Un diviseur propre ´etant un diviseur autre que le nombre lui-mˆeme
1. Quel est le premier nombre parfait ?
2. V´erifier que 28 et 496 sont des nombres parfaits
information
Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inf´erieurs `a 1000 . Ensuite vient 8128, puis 33550336, 8589869056 , 137438691328 , 2305843008139952128 (d´ecouvert par Leonhard Eu- ler), 2658455991569831744654692615953842176 , · · · ·
Actuellement, 40 nombres parfaits sont connus.
Le plus grands poss`ede 12 640 858 chiffres et est ´egal `a : 220996010× 220996011−1 .
2 6 septembre 2016
TP N◦ 1 Sp´e Math
L
ES NOMBRES AMIABLESOn attribue `a Pythagore la citation suivante :
“Un ami est l’autre moi-mˆeme comme sont 220 et 284. ”
Quelle propri´et´e de ces deux nombres conduisent Pythagore `a cette citation ?
information
Le second couple de nombres amiables fut d´ecouvert par Pierre de Fer- mat (1601 ; 1665), il s’agit de 17296 et 18416.
Ren´e Descartes (1596 ; 1650) d´ecouvrit le troisi`eme : 9437056 et 9363584.
Aujourd’hui plusieurs milliers de couples sont connus. Le tableau ci- contre en pr´esente les premiers.
220 284
1184 1210 2620 2924 5020 5564 6632 6368 10744 10856 12285 14595 17296 18416 63020 76084 66928 66992 67095 71145 69615 87633 79750 88730
A
LGORITHMIQUE1. Le programme ci-dessous permet d’obtenir la somme des diviseurs d’un nombre entier Compl´etez les parties manquantes.
On pr´ecise que la fonction permettant d’obtenir le reste de la division euclidienne de a par b est : a % b
1 VARIABLES
2 N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 S EST_DU_TYPE NOMBRE 4 j EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE N
7 S PREND_LA_VALEUR ...
8 POUR j ALLANT_DE 1 A ...
9 DEBUT_POUR
10 SI (... == 0) ALORS
11 DEBUT_SI
12 S PREND_LA_VALEUR S+...
13 FIN_SI
14 FIN_POUR 15 AFFICHER S 16 FIN_ALGORITHME
2. Mettre en oeuvre ce programme sur votre calculatrice ou sur Algobox . V´erifier que 79750 et 88730 sont des nombres amiables.
3. Ecrire un algorithme permettant de tester si un nombre est parfait .
3 6 septembre 2016
