A362. Les réversibles

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A362. Les réversibles

Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.

Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.

Q₁ Déterminer les valeurs possibles de k.

Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.

Solution proposée par Daniel Collignon

Q1

n = x...y = k * y...x avec xy <> 0.

Pour déterminer les valeurs possibles de k nous utiliserons les 2 conditions suivantes : - y = k*x (mod 10)

- k*y =< x < k*(y+1) avec en particulier k*y < 10

k=2 :

pour x = 1..4, y=2x, mais x >= 2y = 4x est impossible

pour x = 6..9, y=2x-10, mais 2y =< x < 2(y+1) entraîne 18 < 3x =< 20 : impossible

k=3 :

pour x = 4..6, y=3x-10, mais 3y =< x < 3(y+1) entraîne 27 < 8x =< 30 : impossible pour x = 7..9, y=3x-20, mais 3y =< x < 3(y+1) entraîne 57 < 8x =< 60 : impossible

k=4 :

pour x = 3..4, y=4x-10, mais 4y =< x < 4(y+1) entraîne 36 < 15x =< 40 : impossible pour x = 6..7, y=4x-20, mais 4y =< x < 4(y+1) entraîne 76 < 15x =< 80 :

pour x = 8..9, y=4x-30, mais 4y =< x < 4(y+1) entraîne 116 < 15x =< 120 : d'où x = 8 et y = 2 (on vérifie que 8172 = 2178*4)

pour k>=5, nécessairement y = 1 pour que k*y < 10, et nous cherchons k*x = 1 (mod 10), impossible si k possède un diviseur commun avec 10.

k=7 : 7x = 1 (mod 10) entraîne x = 3 < 7 : impossible

k=9 : 9x = 1 (mod 10) entraîne x = 9 (on vérifie que 9801 = 9*1089)

Q2

8abcdefgh2 = 4*2hgfedcba8 4*2h < 90 => h = 0, 1 ou 2

4a+3 = h (mod 10) => h est impair

(2)

D'où h = 1

Alors 4a+3 = 1 (mod 10) => a = 2 (mod 5) Mais 4*21 =< 8a => 4 =< a

D'où a = 7

87b...g12 = 4*21g...b78 870 =< 4*21g => g = 7, 8 ou 9 4b+3 = g (mod 10) => g impair

g = 7, b = 1 (mod 5), mais 87b < 4*218 => b = 1 g = 9, b = 4 (mod 5), mais 4*219 < 87(b+1) => b = 9

871c..f712 = 4*217f..c178

8710 < 4*217(f+1) => f = 7, 8 ou 9 4c = f (mod 10) => f pair

D'où f = 8, c = 2 (mod 5), mais 871c < 4*2179 => c=2

8712de8712 = 4*2178ed2178 4*2178e < 87130 => e = 0, 1 ou 2 4d = e (mod 10) => e pair

e = 0, d = 0 (mod 5), mais 8712d < 4*21781 => d = 0 1 solution : 8712008712 = 4*2178002178

e = 2, d = 3 (mod 5), mais 4*21782 < 8712(d+1) => d = 8 mais 8712828712 <> 4*2178282178

879c..f912 = 4*219f...c978

8790 < 4*219(f+1) => f = 7, 8 ou 9 4c+3 = f (mod 10) => f impair

f = 7, c = 1 (mod 5), mais 879c < 4*2198 => c = 1 f = 9, c = 4 (mod 5), mais 4*2199 < 879(c+1) => c = 9

8791de7912 = 4*2197ed1978 87910 < 4*2197(e+1) => e >= 7 4d = e (mod 10) => e pair

e = 8, d = 2 (mod 5), mais 8791d < 4*21979 => d = 2 1 solution : 8791287912 = 4*2197821978

8799de9912 = 4*2199ed9978 87990 < 4*2199(e+1) => e >= 7 4d+3 = e (mod 10) => e impair

e = 7, d = 1 (mod 5), mais 8799d < 4*21998 => d = 1 mais 8799179912 <> 4*2199719978

e = 9, d = 4 (mod 5), mais 4*21999 < 8799(d+1) => d = 9 1 solution : 8799999912 = 4*2199999978

L'autre cas se traite à l'aide d'un raisonnement similaire sur les

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chiffres successifs.

J'ai obtenu en tout 6 relations : 8712008712 = 4*2178002178 8791287912 = 4*2197821978 8799999912 = 4*2199999978 9801009801 = 9*1089001089 9890198901 = 9*1098910989 9899999901 = 9*1099999989