Le cas de k = 5 est impossible

A362 – Les réversibles

Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Si k = 1, l'entier n est un palindrome. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.

Q₁ Déterminer les valeurs possibles de k.

Q₂ Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.

Solution par Patrick Gordon Q₁

À l'évidence, puisque l'on exclut k = 1 et que les entiers m et n ont le même nombre de chiffres, 2 ≤ k ≤ 9.

Le cas de k = 5 est impossible. En effet, soit m = AB…YZ; on doit avoir : n = ZY…BA.

Si Z est pair, on a (à droite) A = 0, ce qui est exclu,

Si Z est impair, on a A = 5; or (à gauche) 5×5 dépasse 1 chiffre, même sans retenue.

Le cas de k = 3 est impossible.

En effet, soit m = AB…YZ; on doit avoir : n = ZY…BA.

Il faut donc que :

- (à droite) A = mod(3Z; 10)

- (à gauche) Z, qui est compris entre 3A et 3A+R (où R est une éventuelle retenue qui, dans une multiplication par 3, ne saurait dépasser 3) n'ait que 1 chiffre.

On voit aisément, en essayant les valeurs 1, 2… 9 de Z (à droite) que ces conditions ne peuvent être satisfaites.

En effet, 3A n'a que 1 chiffre pour :

- Z = 1, mais alors A = 3 donc 3A = 9 et Z ne peut être compris entre 3A et 3A+R - Z = 4, mais alors A = 2 donc 3A = 6 et Z ne peut être compris entre 3A et 3A+R

- Z = 7, mais alors A = 1 donc 3A = 3 et Z ne peut être compris entre 3A et 3A+R (puisque R ≤ 3).

Le cas de k = 2 est impossible. En effet, la même méthode que pour k = 3 indique que seule est a priori possible une solution avec Z = 6. On a alors (à droite) A = 2, donc (à gauche) Z = 2A + R, ce qui implique une retenue R = 2 dans le produit 2B. Une telle retenue n'est toutefois possible que par le produit 2×9 + 2, c’est-à-dire qu'il faut une retenue de 2 de proche en proche. Or la première retenue à droite est de 1.

Dans le cas de k = 4, la même méthode que pour k = 2 et 3 indique que seule est a priori possible une solution avec Z = 8. On a alors (à droite) A = 2, donc (à gauche) Z = 4A + R, ce qui implique une retenue R = 0 dans le produit 4B. Le cas de k = 4 est donc a priori possible (pour autant que B n'excède pas 2). On trouve d'ailleurs aisément un nombre réversible avec k = 4; c'est le nombre n = 8712 qui est le produit par 4 de m = 2178.

Le cas de k = 4 est donc non seulement "a priori possible" mais possible tout court.

Les cas où k ≥ 6 impliquent (à gauche) A = 1, ce qui n'est possible qu'avec k impair.

Les cas k = 6 ou 8 sont donc impossibles.

Dans le cas de k = 7, on ne peut avoir A = 1 qu'avec (à droite) Z = 3. Mais alors (à gauche) Z ≥ 7.

Le cas k = 7 est donc impossible.

Dans le cas de k = 9, on ne peut avoir A = 1 qu'avec (à droite) Z = 9. Mais alors (à gauche) Z ≥ 9, ce qui implique une retenue R = 0 dans le produit 9B, donc B ≤ 1. Le cas de k = 9 est donc a priori possible. On trouve d'ailleurs aisément un nombre réversible avec k = 9; c'est le nombre n

= 9801 qui est le produit par 9 de m = 1089.

Le cas de k = 9 est donc non seulement "a priori possible" mais possible tout court.

Récapitulation

Le cas de k = 1 (n palindrome) est exclu par l'énoncé.

Les entiers m et n ayant le même nombre de chiffres, 2 ≤ k ≤ 9.

Nous avons montré que les cas de k = 2, 3, 5, 6, 7, 8 sont impossibles.

Pour k = 4 et 9, nous avons trouvé des exemples de nombres réversibles. Donc k = 4 et 9 sont possibles.

Q2

Cas de k = 9

Écrivons le problème sous la forme d'un cryptarithme, avec les retenues connues ou en cours de calcul au-dessus (dans une multiplication par 9, toutes les retenues sont ≤ 8) :

R' R 8

1 B C D E F G H I 9

× 9 9 I H G F E D C B 1 Le couple BI donne :

- à droite 9I + 8 = 10R + B - à gauche 9B + R' = I

Il en résulte en combinant : 9(9B + R') + 8 = 10R + B d'où :

80B + 9R'+ 8 = 10R

Le second membre ne peut dépasser 80, donc B = 0 et donc R = R' = I = 8.

Le cryptarithme devient donc (avec R et R' désignant les deux nouvelles retenues) :

8 R' R 8 8

1 0 C D E F G H 8 9

× 9 9 8 H G F E D C 0 1 Le couple CH donne :

- à droite 9H + 8 = 10R + C - à gauche 9C + R' = 80 + H Il en résulte en combinant :

9(9C + R' – 80) + 8 = 10R + C d'où :

80C + 9R' = 10R + 712 Il y a deux solutions :

C = 9; R = 8; R' = 8; H = 9 C = 8; R = 0; R' = 8; H = 0 cas de C = 9

La recherche se poursuit comme suit :

8 8 R' R 8 8 8

1 0 9 D E F G 9 8 9

× 9 9 8 9 G F E D 9 0 1 Le couple DG donne :

- à droite 9G + 8 = 10R + D - à gauche 9D + R' = 80 + G

On est dans le même cas que ci-dessus, G et D remplaçant H et C et il y a à nouveau deux solutions :

D = 9; R = 8; R' = 8; G = 9 D = 8; R = 0; R' = 8; G = 0

 cas de C = 9, D = 9, G = 9

La recherche se poursuit comme suit : 8 8 8 R 8 8 8 8 1 0 9 9 E F 9 9 8 9

× 9 9 8 9 9 F E 9 9 0 1

Notons qu'il n'y a dès lors plus qu'une retenue inconnue.

Le couple EF donne :

- à droite 9F + 8 = 10R + E - à gauche 9E + R = 80 + F Il en résulte en combinant :

80E = R + 712

Il y a une solution : E = 9; R = 8; F = 9.

Elle fournit une première réponse : n = 9899999901 = 9 × 1099999989

 cas de C = 9, D = 8, G = 0

La recherche se poursuit comme suit : 8 8 8 R 0 8 8 8 1 0 9 8 E F 0 9 8 9

× 9 9 8 9 0 F E 8 9 0 1

Notons qu'il n'y a à nouveau plus qu'une retenue inconnue.

Le couple EF donne :

- à droite 9F = 10R + E - à gauche 9E + R = 80 + F Il en résulte en combinant :

80F = 89R + 80

Il y a une solution : F = 1; R = 0; E = 9.

Elle fournit une seconde réponse :

n = 9890198901 = 9 × 1098910989 cas de C = 8

La recherche se poursuit comme suit :

8 8 R' R 0 8 8

1 0 8 D E F G 0 8 9

× 9 9 8 0 G F E D 8 0 1 Le couple DG donne :

- à droite 9G = 10R + D - à gauche 9D + R' = 80 + G Il en résulte en combinant :

80G – 90R + R' = 80 Il n'y a qu'une solution :

G = 1; R = R' = 0; D = 9 La recherche se poursuit comme suit :

8 8 0 R 0 0 8 8 1 0 8 9 E F 1 0 8 9

× 9 9 8 0 1 F E 9 8 0 1

Notons qu'il n'y a à nouveau plus qu'une retenue inconnue.

Le couple EF donne :

- à droite 9F = 10R + E - à gauche 9E + R = F Il en résulte en combinant :

80E = R

ce qui n'est possible que pour E = R = 0, d'où il résulte F = 0.

Il y a donc une troisième réponse pour k = 9 : n = 9801009801 = 9 × 1089001089 Cas de k = 4

Dans le cas de k = 4, nous avons vu que le premier chiffre de n (cette fois noté A) doit être 8 et le dernier (cette fois noté J) 2.

Nous avons également noté que l'on a alors (à gauche) J = 4A + R, ce qui implique une retenue R

= 0 dans le produit 4B.

Le cryptarithme s'écrit alors :

0 R' R 3

2 B C D E F G H I 8

× 4 8 I H G F E D C B 2 Le couple BI donne :

- à droite 4I + 3 = 10R + B - à gauche 4B + R' = I Il en résulte en combinant :

15B + 4R' + 3 = 10R

Cette fois, toutes les retenues (dans une multiplication par 4) sont ≤ 3.

Donc, le deuxième membre étant ≤ 30, B ne peut être > 1.

Si B = 0, R' = I et 4R' + 3 = 10R, ce qui est impossible pour des raisons de parité.

Donc B = 1 et 4R' + 18 = 10R, soit : 2R' + 9 = 5R,

ce qui, pour R et R' ≤ 3, n'est possible que pour R = R' = 3. Quant à I, il vaut 7.

Le cryptarithme s'écrit donc :

0 3 R' R 3 3

2 1 C D E F G H 7 8

× 4 8 7 H G F E D C 1 2 Le couple CH donne :

- à droite 4H + 3 = 10R + C - à gauche 4C + R' = 30 + H

Il en résulte en combinant : 15H – 40R + R' = 18 Il y a 3 solutions :

H R R' C

1 0 3 7

6 2 8 7

9 3 3 9

La seconde est toutefois à écarter car R' est trop élevé.

cas de H = 1

La recherche se poursuit comme suit :

0 3 3 R' R 0 3 3

2 1 7 D E F G 1 7 8

× 4 8 7 1 G F E D 7 1 2 Le couple DG donne :

- à droite 4G = 10R + D - à gauche 4D + R' = 30 + G Il en résulte en combinant :

15G – 40R + R' = 30

Il y a une solution unique : G = 2, R = R' = 0, d'où D = 8.

La recherche se poursuit comme suit :

0 3 3 0 R 0 3 3 3

2 1 7 8 E F 2 1 7 8

× 4 8 7 1 2 F E 8 7 1 2

Notons qu'il n'y a à nouveau plus qu'une retenue inconnue.

Le couple EF donne :

- à droite 4F = 10R + E - à gauche 4E + R = F Il en résulte en combinant :

5E = 2R

Une solution théorique est : R = 5, E = 2, mais elle donnerait F = 13.

La vraie solution est E = R = 0.

D'où une première réponse pour k = 4 : n = 8712008712 = 4 × 2178002178

cas de H = 9

La recherche se poursuit comme suit :

0 3 3 R' R 3 3 3

2 1 9 D E F G 9 7 8

× 4 8 7 9 G F E D 9 1 2 Le couple DG donne :

- à droite 4G + 3 = 10R + D - à gauche 4D + R' = 30 + G Il en résulte en combinant :

15G – 40R + R' = 18

C'est la même relation que ci-dessus pour H et il y a 2 solutions :

G R R' D

1 0 3 7

9 3 3 9

 cas de H = 9, G = 1, D = 7

La recherche se poursuit comme suit :

0 3 3 3 R 0 3 3 3

2 1 9 7 E F 1 9 7 8

× 4 8 7 9 1 F E 7 9 1 2 Le couple EF donne :

- à droite 4F = 10R + E - à gauche 4E + R = 30 + F

Il en résulte en combinant : 5E – 2R = 40

La solution unique est : R = 0, E = 8, d'où : F = 2.

D'où une seconde réponse pour k = 4 : n = 8791287912 = 4 × 2197821978

 cas de H = 9, G = 9, D = 9

La recherche se poursuit comme suit :

0 3 3 3 R 3 3 3 3

2 1 9 9 E F 9 9 7 8

× 4 8 7 9 9 F E 9 9 1 2 Le couple EF donne :

- à droite 4F + 3 = 10R + E - à gauche 4E + R = 30 + F Il en résulte en combinant :

5E = 39 + 2R

La solution unique est : R = 3, E = 9, d'où : F = 9.

D'où une troisième réponse pour k = 4 : n = 8799999912 = 4 × 2199999978 Récapitulation

Nous avons trouvé 6 entiers réversibles de 10 chiffres :

n k m

8712008712 4 2178002178 8799999912 4 2199999978 8799999912 4 2199999978 9801009801 9 1089001089 9890198901 9 1098910989 9899999901 9 1099999989

Remarque :

En examinant la factorisation des valeurs de m : 2178002178 = 2 × 3² × 11² × 101 × 9901 2197821978 = 2 × 3³ × 11² × 37 × 9091 2199999978 = 2 × 3² × 11² × 73 × 101 × 137 1089001089 = 3² × 11² × 101 × 9901

1098910989 = 3³ × 11² × 37 × 9091 1099999989 = 3² × 11² × 73 × 101 × 137, on constate, à toutes fins utiles :

- que tous ces nombres sont multiples de 3² × 11² = 1089 (qui est le plus petit nombre k- réversible non palindrome),

- que le plus grand des m pour k = 4 est le double du plus grand des m pour k = 9 et ainsi pour les seconds et pour les troisièmes.