A629. La porte étroite
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux: exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique: trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N ; les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Dans ce qui suit S(i=m,n) désigne une somme dans laquelle l'indice i croît de m à n On pose N = 2K
Les 7 entiers ai sont ordonnés a1 < a2 < a3 < … < a7 (inégalités strictes) La somme de ces sept entiers vérifie
S(i=1,7) ai > 2K strictement (1) Une somme de trois termes quelconque est au plus égale à N/2 = K :
cela signifie ici que la somme des trois termes a5+a6+a7 est au plus égale à K Puisque qu'on recherche le plus petit N = 2K satisfaisant à cela
a5 + a6 + a7 = K (2) → Avec (1) et (2) a1+a2+a3+a4 > K = a5+a6+a7 (3) OR à gauche avec trois termes, le maximum est obtenu avec S' = a2+a3+a4 et S' < a5+a6+a7 quels que soient les valeurs des entiers a2, a3 et a4 ==> C'est l'ajout de a1 qui renverse cette inégalité pour conduire à l'inégalité (3) ci-dessus.
Alors pour que N soit le plus petit possible, il faut que a1 soit le plus petit possible, - l'inégalité (3) étant vérifiée.
==> Autrement dit il faut que a2+a3+a4 soit aussi proche que possible de a5+a6+a7 Puisque les ai sont des entiers distincts, ils sont au moins séparés d'une unité entre eux Donc a5 = a2+3 a6 = a3+3 a7 = a4+3
Et
(3) → a1 + S' > K = S' + 3x3
a1 > 9 , cette inégalité stricte conduit à → a1 = 10 est la plus petite valeur de a1 possible
Avec cela
a2 = 11 a3 = 12 … a7 = 16 K = a5+a6+a7 = 45
==> N min = 90 Alors on a bien
S(i=1,7) ai = 91 > N
Q2 Exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
En reconduisant les notations de la question Q1 , les (2k+1) entiers ai (i = 1, 2k+1) supposés ordonnés a1 < a2 < a3 … < a2k+1 , vérifient
S(i =1,2k+1) ai > 2K strictement (1') S(i=k+2,2k+1) ai = K (2')
(La plus grande somme de k termes est obtenue avec les k plus grands ai et, puisque K doit être le plus petit possible, l'égalité à K est requise pour cette somme)
→ (1') et (2') conduisent à
S(i =1,k+1) ai > K = S(i=k+2,2k+1) ai (inégalité stricte) (3') OR en exceptant un terme à gauche,- même le plus petit , a1 -, l'inégalité précédente est renversée
S(i =2,k+1) ai < S(i=k+2,2k+1) ai
→ Comme précédemment en Q1, pour que N soit le plus petit possible :
les sommes partielles mise en jeu S(i =2,k+1) ai et S(i=k+2,2k+1) ai , doivent être les plus petites possible ces sommes doivent aussi être les plus proches possible ; cela afin que a1 soit le plus petit possible
Ces deux conditions exigent que les entiers ai (i > 1) soient consécutifs : ak+2 = a2 + k
ak+3 = a3 + k …...
a2k+1 = ak+1 + k
Et puisqu'il y a k nombres entiers ai de a2 à ak+1 , l'inégalité (3') devient a1 + S(i =2,k+1) ai > S(i =2,k+1) ai + k x k soit a1 > k²
==> a1 le plus petit possible est a1 = k² + 1
Alors les entiers consécutifs sont d'une façon générale aj = k² + j avec j = 1, 2k+1 Avec cela
K = S(j=k+2,2k+1) ai = k x k² + S(j=k+2,2k+1) j
et S(j=k+2,2k+1) j = S(j=1,2k+1) j - S(j=1,k+1) j = (2k+1)(k+1) - (k+1)(k+2)/2 K = k3 + 3k(k+1)/2
D'où
==> N min = 2k3 + 3k(k+1) (4)
Application numérique : trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N min On impose N min = K.2016
Soit donc k[ 2k² + 3(k+1) ] = K.25.3².7 (5) → Une solution évidente est k = 2016
Est-ce k min ?
On observe tout d'abord que les deux facteurs k et [ 2k² + 3(k+1) ] sont de parité opposée Alors
1 - si k est pair → k = m.25 où m est un entier a priori quelconque
On vérifie directement : aucune solution de ce type pour k ne conduit à --> [ 2k² + 3(k+1) ] divisible par 63 2 - si k impair
Le choix k = m.3 montre que [ 2k² + 3(k+1) ] est aussi divisible par 3 → facteur 3² k est-il divisible par 7 ?
L'égalité
[ 2k² + 3(k+1) ] = r.7 n'a pas de solution entière (k,r) (au moins pour k < 2016) Donc pour satisfaire l'égalité (5), k doit être multiple de 7
→ k = s.3.7 où s est un entier impair En conclusion
==> k impair et k = s.3.7 Il suffit alors de tester la divisibilité de
k.[ 2k² + 3(k+1) ] par 2016 pour les valeur impaires successives de s En partant de s = 1, 3, 5, ...
→ La valeur s = 5 est la première valeur qui conduit à K entier dans l'égalité (5)
[ 2k² + 3(k+1) ] = 22368 et le quotient de 105.22368 par 2016 est K = 1165 ==> k min = 105 est la plus petite valeur de k qui satisfait l'égalité (5)
