A629. La porte étroite ***
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux: exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique: trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution proposée par Jean Nicot
Q1- Soit n le plus petit des 7 entiers, les autres en progression arithmétique de raison 1. Leur somme est S=7n+21. La somme des trois plus grands est 3n+15.
Il faut 6n+30 <= N < 7n+21 soit n>9
Avec n=10, on a les 7 entiers 10 à 16, de somme 91 soit N=90 et 14+15+16=45 <= N/2 N = 90
Q2- Soit n le plus petit des 2k+1 entiers qui vont de n à n+2k. Leur somme S est (2k+1)n + k(2k+1)
La somme des k plus grands est kn + ∑𝑝=2𝑘𝑝=𝑘+1𝑝 = kn +(3k²+k)/2
Il faut 2kn+3k²+k <= N < (2k+1)n + k(2k+1) soit n > k² soit n = k²+1 et S=2k3 +3k²+3k+1 N =2 k3 +3k²+3k qui est pair car k²+k est pair
N= k(2k²+3k+3)=multiple de 2016=32*9*7
2k²+3k+3 est multiple de 3 si k est multiple de 3 alors N est multiple de 9
2k²+3k+3 n’est pas multiple de 7 car il le serait pour k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Il faut donc que k soit mutliple de 7.
k est donc de la forme 21*k’. Quelques essais montrent que pour k’=5, 2k²+3k+3 est divisible par 32 Pour k’ = 5, k=105, N vaut 105* 22368 = 2348640 et N/2016 = 5*699 = 3495
