A384 – Les égalisateurs
Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers p.n et q.n ont le même nombre de diviseurs.
Q₁ Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q₂ Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].
Solution proposée par Michel Boulant
On représente le couple d'entiers comme 2 k-uplets des nombres premiers mis en communs et ordonnés. On affecte à chacun d'eux la puissance + 1 du nombre premier correspondant.
(a0, b0, c0,....) et (a1, b1, c1,...) On écrit alors l'égalité :
( a + a0 ) * ( b + b0 ) * ( c + c0 ) ...= ( a + a1 ) * ( b + b1 ) * ( c + c1 )...
le k-uplet solution ( a, b, c ....) est l' égalisateur, où a, b, c,...représente les puissances ( pas de + 1 cette fois ) des nombres premiers ordonnés communs aux 2 entiers.
Il est évident que si : a0 > a1 ; b0 > b1 ; c0 > c1...ou l'inverse, il ne peut y avoir d'égalité donc pas de solution.
C'est le cas du couple (1961;84323) = (2,1,2) et (2,2,2), l'un est multiple de l'autre.
Pour 2019 = 3 * 673 = ( 2 , 2 ) les entiers incompatibles inférieurs sont ses diviseurs (1,1) (1,2) (2,1) à savoir 1,3 et 673 et ceux qui lui sont supérieurs < 10 000 à savoir 4038,6057 et 8076.
Recherche de solution pour les couples :
( 20 ; 81 ). Nombres premiers communs ordonnés : 2, 3, 5 . Avec 20 = ( 3, 1, 2 ) et 81 = ( 1, 5, 1 ) L'une des solutions est n = ( 5, 3, 1 ) soit ( 2 ^ 5) * ( 3 * 3 ) * 5. Les nombres deviennent : 20n = ( 8 , 4, 3 ) et 81n = ( 6 , 8 , 2 ) Le produit (nb de facteurs ) vaut 96 dans les 2 cas.
(1610 ; 2019 ) Nombres premiers communs ordonnés : 2 , 3 , 5 , 7, 23 , 673. Avec 1610 = ( 2,1,2,2,2,1) et 2019 = ( 1,2,1,1,1,2)
L'une des solutions est n = ( 0 , 0 , 5 , 6 , 7 ,1 ) soit ( 5 ^ 5 ) * ( 7 ^ 6 ) * ( 23 ^ 7 ) * 673.
avec 1610n = ( 2, 1, 7, 8, 9, 2 ) et 2019n = ( 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 3 ) le produit vaut 2016 dans les 2 cas.
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Méthode systématique de résolution d'un égalisateur Lemme
( a + a0 ) / ( a + a1 ) avec a0 > a1, a variable, peut s'écrire sous la forme (n+1) / n quel que soit n suffisamment grand.
( a+ a0 ) / ( a + a1 ) = ( n + 1) / n
a = n ( a0 - a1 ) -a1 > 0. On peut appeler la fraction (n+1)/n du plus petit n la " réduite au pas de l'écart ( a0 - a1) "
Application
Soit à résoudre : (a + 7) ( b + 3) ( c + 4 ) ( d + 7 ) ( e + 9) = (a + 2) ( b + 5 ) ( c + 1) ( d + 8 ) ( e + 7 ) ( a + 7) / (a+2) * (c + 4 ) ( c+ 1) * ( e + 9) / ( e + 7 ) = ( b + 5) / ( b + 3 ) * (d + 8) / ( d+ 7)
On réduit les fractions au pas de l'écart :( 2 / 1) * ( 2 / 1 ) * ( 5 / 4 ) < > ( 3 / 2) * ( 8 / 7 ) On repére la plus petite fraction : 8 / 7 et on réalise alors l'égalité :
( 24 / 23 ) * ( 23 / 22) * ( 22 / 21) = ( 16 / 15) * ( 15 / 14) On en déduit les valeurs des variables {a,b,c,d,e}
