Propriété 2 : n est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.

(1)

A331 - Primo-accointances

Enoncé :

Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :

P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.

P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.

Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.

Solution proposée par David Amar

La réponse est n=30. Nous allons maintenant voir pourquoi.

Propriété 1 : n est compris entre 17 et 2012 et tel que n-17 ; n-11 ; n-7 ; n-1 ; n+1 ; n+7 ; n+11 ; n+17 sont tous premiers.

On regarde les différentes valeurs de n modulo 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 Modulo 2

N = 0

N = 1 N+1 n’est pas premier car multiple de 2 supérieur à 18 Modulo 3

N = 0

N = 1 N-1 n’est pas premier car multiple de 3 supérieur à 16 N = 2 N+1 n’est pas premier car multiple de 3 supérieur à 18

Modulo 5 N = 0

N = 1 N-1 n’est pas premier car multiple de 5 supérieur à 16 N = 2 N-7 n’est pas premier car multiple de 5 supérieur à 10 N = 3 N+7 n’est pas premier car multiple de 5 supérieur à 24 N = 4 N+1 n’est pas premier car multiple de 5 supérieur à 18

 Donc n est un multiple de 30 et vaut au moins 30 Modulo 7

N = 0 N+7 n’est pas premier car multiple de 7 supérieur à 37 N = 1 N-1 n’est pas premier car multiple de 7 supérieur à 29 N = 2

N = 3 N-17 n’est pas premier car multiple de 7 supérieur à 13 N = 4 N+17 n’est pas premier car multiple de 7 supérieur à 47 N = 5

N = 0 N+11 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 41

(2)

N = 1 N-1 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 29 N = 2

N = 3

N = 4 N+7 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 37 N = 5 N+17 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 47 N = 6 N-17 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 13 N = 7 N-7 n’est pas premier car multiple de 11 supérieur à 23 N = 8

N = 9

N = 0

N = 1 N-1 n’est pas premier car multiple de 13 supérieur à 29 N = 2 N+11 n’est pas premier car multiple de 13 supérieur à 41 N = 3

N = 4 Cas particulier, voir plus bas N = 5

N = 9 N+17 n’est pas premier car multiple de 13 supérieur à 47 N = 10

N = 11 N-11 n’est pas premier car multiple de 13 supérieur à 19 N = 12 N+1 n’est pas premier car multiple de 13 supérieur à 31

Modulo 17

N = 3 N = 4 N = 5

N = 9

N = 13 N = 14 N = 15

N = 16 N+1 n’est pas premier car multiple de 17 supérieur à 31

Cas particulier où N=4 modulo 13 : N-17 est un multiple de 13. Du coup, soit n-17 est supérieur à 13 et donc composé ; soit n-17 = 13 et donc n=30

A ce stade, on va appliquer le théorème des restes chinois ; pour obtenir 2 solutions : 30 et 1290.

(3)

On peut éliminer 1290 car 1290-17 = 19*67

Il ne reste que 30. On vérifie que 13 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 et 47 sont tous premiers

Propriété 2 : n est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.

Tout d’abord, on va reformuler la question : 1 est en effet premier avec tout nombre sans être lui- même premier, donc n est le plus grand entier avec pour tout x tel que 1 < x <n ; x premier avec n implique x premier.

Soit N un tel nombre. On éliminera le cas N=1, trivial.

1. Cas où N est premier.

Un nombre premier est premier avec tout nombre qui lui est inférieur. Autrement dit, tous les nombres inférieurs à N sont premiers. N vaut donc 2 ou 3 ; car à partir de 5 on a N > 4 qui n’est pas premier.

2. Cas où N est composé

On va énoncer caractériser un tel nombre N de la manière suivante:

Si P et Q sont deux nombres premiers tels que PQ <N Alors N est divisible par P et / ou par Q

Démonstration: dans le cas contraire ; n est premier avec PQ qui est composé ; et inférieur à n.

Autre caractérisation

Si p est premier et inférieur à N et si p ne divise pas N Alors N est inférieur à p²

Démonstration: par contraposée de la caractérisation précédente, avec P = Q.

On note le k-ième nombre premier.

Le postulat de Bertrand indique que pour tout nombre X, il existe un nombre premier compris entre X et 2X. Si on applique ça à ; on trouve qu’il existe un nombre premier compris entre et . Comme et que ce dernier est le plus petit nombre premier supérieur à , on a :

Si N n’est pas premier, il est donc composé d’un nombre fini de facteurs premiers. L’ensemble des nombres premiers qui ne divise pas N est donc non vide et admet un plus petit élément : soit P le plus petit nombre premier qui ne divise pas N.

Du coup, on en déduit qu’il existe un nombre premier P, tel que :

(4)

- P ne divise pas N (par construction)

- Tout nombre premier inférieur à P divise N (par construction) - P² > N (d’après notre caractérisation n°2)

Note : on pourrait ajouter P<N ; qui découle du fait que N est composé et du corollaire du postulat de Bertrand ci-dessus ; mais ça n’est pas nécessaire pour la suite de la démonstration.

On va donc considérer un tel nombre N (Z est un entier non-nul et non multiple de )

D’après notre corollaire au postulat de Bertrand :

Or, toujours d’après notre corollaire;

On remarque que :

- pour k > 4 ; la valeur du dernier produit est un multiple de 30; donc supérieur à 8. Du coup : o la valeur maximale de k est 4

o et donc N est toujours inférieur à

- Pour k=1; 2 divise N ; 3 ne divise pas N et N<9 ; donc N=4 ou 8

- Pour k=2; 6 divise N ; 5 ne divise pas N et N<25 ; donc N=6, 12, 18 ou 24 - Pour k=3 ; 30 divise N ; 7 ne divise pas N et N<49 ; donc N=30

- Pour N=4 ; 210 divise N donc N est supérieur à 121, la limite maximale Les différentes valeurs possibles de N sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 et 30.

La plus grande de ces valeurs est 30.