Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014
MPSI - Mathématiques le 20 novembre
Devoir à la maison n° 06
À rendre le 27 novembre
I. Un ensemble de nombres premiers
On souhaite montrer que l’ensemble E des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est infini. 3 appartient à cet ensemble, donc il est non vide.
Raisonnant par l’absurde, on suppose E fini ; on peut alors noter p1, p2, . . ., pn la liste des éléments distincts de E.
On introduit l’entierN = 4p1p2. . . pn−1.
1) Montrer que N ≡3[4].
2) Établir queN possède au moins un facteur premier congru à 3 modulo 4.
3) Montrer que pour touti∈J1, nK, pi ne divise pas N. 4) En déduire une contradiction.
II. Nombres parfaits
Pour tout n > 2, on note d(n) la somme des diviseurs positifs de l’entier n. On dit que n est parfait sid(n) = 2n. Soitp∈N tel que Mp = 2p−1 soit un nombre premier. On noteEp = 2p−1Mp. Montrer queEp est parfait.
III. Suite de Fibonacci
La suite (un) (suite de Fibonacci) est définie par
u0 = 1 ; u1 = 1 et ∀n∈N un+2 =un+1+un .
1) Résoudre cette relation de récurrence et donner une expression de un en fonction de n.
Dans toute la suite on n’utilisera plus les résultats de la question précédente.
2) Montrer que pour toutn ∈N,un ∈N∗.
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3) Montrer que la suite (un) est croissante.
4) Montrer queun>npour toutn ∈N. Que peut-on en déduire pour lim
n→+∞un? 5) Démontrer que ∀n ∈ N unun+2 − u2n+1 = (−1)n . (indication : on in- troduira la suite an = unun+2 − u2n+1 et on montrera que pour tout n, an+1 =−an).
6) En déduire que pour tout n, un etun+1 sont premiers entre eux.
7) Pour tout entier natureln, on pose vn= un+1 un
, puis xn =v2n et yn =v2n+1. a) Démontrer la relation vn+1 = 1 + 1
vn
pour tout entier naturel n.
b) Démontrer la relation vn+2−vn= (−1)n
unun+2 pour tout n∈N. c) En déduire que les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.
d) En déduire que la suite (vn) converge. Quelle est sa limite ?
— FIN —
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